Закон Фарадея от силы Лоренца в случае движущегося проводящего стержня: как должны быть ориентированы векторы?

Question

Закон Фарадея от силы Лоренца в случае движущегося проводящего стержня: как должны быть ориентированы векторы?

Сёрен

Я не понимаю, как получить закон Фарадея от силы Лоренца в следующей ситуации.

Рассмотрим проводящий стержень, движущийся со скоростью $\bf{v}$ в однородном (постоянном) магнитном поле $\bf{B}$ .

Я думаю, что есть два вектора, которые должны быть выбраны для стержня: вектор линии $\bf{ds}$ и нормальный вектор $\hat{\bf{n}}$ .

Я сориентировал два вектора двумя разными способами, но только в первом случае я попал в закон

е м ф знак равно - \frac{г Φ (Б)}{г т}

$\mathrm{emf}=-\frac{\mathrm{d} \Phi(\bf{B})}{\mathrm{dt}}$

правильно (т.е. со знаком минус).

Я покажу рассуждение в двух случаях.

В обоих случаях сила Лоренца равна

Ф_{л} знак равно д (в \times Б)

$\bf{F_L}=\mathrm{q} (\bf{v} \times \bf{B})$

Что эквивалентно полю

Е_{л} знак равно в \times Б

$\bf{E_L}=\bf{v} \times \bf{B}$

Чтобы получить $\mathrm{emf}$ Я вычисляю следующий интеграл

\begin{matrix} (*) & е м ф знак равно \int_{р о г} в \times Б \cdot г с знак равно \int_{р о г} г с \times в \cdot Б знак равно \int_{р о г} г с \times \frac{г л}{г т} \cdot Б знак равно Б \cdot \frac{г}{г т} \int_{р о г} г с \times г л \end{matrix}

$\mathrm{emf}=\int_{\mathrm{rod}} \bf{v} \times \bf{B} \cdot \bf{ds}=\int_{\mathrm{rod}} \bf{ds} \times \bf{v} \cdot \bf{B}=\int_{\mathrm{rod}} \bf{ds} \times \frac{\mathrm{d}\bf{l}}{\mathrm{dt}} \cdot \bf{B}= \bf{B} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\int_{\mathrm{rod}} \bf{ds} \times \bf{dl}\tag{*}$ Где

d l

$\bf{dl}$ бесконечно малое смещение в направлении

v

$\bf{v}$ .

Определить вектор $\bf{dS}$ которые представляют бесконечно малую ориентированную область как

г С знак равно | | г с \times г л | | \hat{н}

$\bf{dS}=||\bf{ds} \times \bf{dl}||\,\,\, \hat{\bf{n}}$

И разреши $\bf{S}$ — общая ориентированная площадь, т. е.

С знак равно \int | | г с \times г л | | \hat{н}

$\bf{S}=\int ||\bf{ds} \times \bf{dl}||\,\,\, \hat{\bf{n}}$

Два случая (с разной ориентацией для $\hat{\bf{n}}$ и $\bf{ds}$ ) отличаются, если я продолжаю работать над выражением $(*)$ .

Случай 1

Пусть векторы ориентированы как на картинке

В таком случае

г с \times г л знак равно - г С

$\bf{ds} \times \bf{dl}=-\bf{dS}$

Следовательно

е м ф знак равно Б \cdot \frac{г}{г т} \int_{р о г} г с \times г л знак равно - Б \cdot \frac{г}{г т} С знак равно - \frac{г}{г т} (Б \cdot С) знак равно - \frac{г Φ (Б)}{г т}

$\mathrm{emf}= \bf{B} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\int_{\mathrm{rod}} \bf{ds} \times \bf{dl}=-\bf{B} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} \bf{S}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(\bf{B} \cdot \bf{S})=-\frac{\mathrm{d\Phi} (\bf{B})}{\mathrm{dt}}$

Случай 2

Пусть векторы ориентированы как на картинке

В таком случае

г с \times г л знак равно + г С

$\bf{ds} \times \bf{dl}=+\bf{dS}$

Следовательно

е м ф знак равно Б \cdot \frac{г}{г т} \int_{р о г} г с \times г л знак равно + Б \cdot \frac{г}{г т} С знак равно + \frac{г}{г т} (Б \cdot С) знак равно + \frac{г Φ (Б)}{г т}

$\mathrm{emf}= \bf{B} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\int_{\mathrm{rod}} \bf{ds} \times \bf{dl}=+\bf{B} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} \bf{S}=+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(\bf{B} \cdot \bf{S})=+\frac{\mathrm{d\Phi} (\bf{B})}{\mathrm{dt}}$

В случае 2 я не получаю правильного знака минус: как это может быть? Что-то не так в том, что я пробовал? В частности, существует ли какое-либо правило, для которого некорректно задавать векторы, ориентированные, как в случае 2?

Розовый

Оба ваших подхода верны. Знак - это просто отражение закона Ленца. ЭДС индуцируется в направлении, противоположном увеличению потока. Попробуйте определить направление из обоих полученных вами соотношений. Вы получите аналогичные результаты.

Ответы (3)

Закон Фарадея от силы Лоренца в случае движущегося проводящего стержня: как должны быть ориентированы векторы?

Оба ваших подхода верны. Знак - это просто отражение закона Ленца. ЭДС индуцируется в направлении, противоположном увеличению потока. Попробуйте определить направление из обоих полученных вами соотношений. Вы получите аналогичные результаты.

Ньютон · Answer 1

Прежде чем ответить на ваш вопрос, я хочу указать на пару «технических» ошибок в вашем доказательстве.

Магнитная сила, действующая на любой заряд: F=q( vx B ). Здесь v — ЧИСТАЯ скорость заряда. В своем доказательстве вы использовали скорость стержня, что неверно, поскольку заряды также движутся относительно стержня. Пусть эта скорость будет u . Таким образом, чистая скорость зарядов равна v + u . Но, к счастью для вас, ошибка не имеет значения, поскольку u и ds имеют одно и то же направление и не влияют на векторное произведение.
Магнитный поток рассчитывается через поверхность, ограниченную замкнутым контуром. В вашем случае замкнутый контур - это провода, а воображаемая поверхность - это площадь, окруженная цепью. ЭДС в законе Фарадея относится к чистой электродвижущей силе, создаваемой в замкнутом контуре, которым в данном случае является ВСЯ цепь. Я пытаюсь сказать, что ваш интеграл должен быть рассчитан по всему замкнутому контуру, а не только по той части, где находится стержень (обведите кружком знак интеграла). Но опять же, поскольку остальная часть схемы не движется, то, что вы сделали, не является неправильным. Все изменение потока происходит только за счет движущегося стержня.

Чтобы ответить на ваш вопрос самым простым способом, все сводится к соглашению о знаках .

Мой второй пункт выше имеет особое значение для вас, чтобы понять ответ. Посмотрите на картинку ниже. Я показал два возможных направления вектора ds , соответствующий смысл интегрирования по всей схеме и направление вектора площади в каждом случае. Обратите внимание, что направление вектора площади должно быть взято в соответствии с «правилом большого пальца правой руки» (имя, которое я придумал). Согните пальцы правой руки в предпочитаемом направлении интеграции. Ваш большой палец будет указывать в направлении вектора площади каждой элементарной области (все они имеют одинаковое направление, поскольку ваша установка плоская).

В обоих случаях вы можете видеть, что правильное направление будет задано vx ds . Продолжайте, и вы получите свой минус.

Спасибо за ответ, но здесь нет никакой цепи , это просто металлический стержень, движущийся в магнитном поле. В стержне не протекает стационарный ток, а только создается разность потенциалов на экстремумах стержня. И в том-то и дело: если схемы нет, то правило «загнутого большого пальца правой руки» не имеет особого смысла.. А может быть, есть способ использовать правило, даже если схемы нет?
Если замкнутого контура нет, то закон Фарадея использовать НЕ МОЖЕТ. Закон Фарадея связывает ЭДС, создаваемую в ЗАМКНУТОМ КОНТУРЕ, со скоростью изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную им. Обратите внимание, что петля может быть воображаемой (не обязательно состоять из какого-либо физического материала) и любой формы, если она замкнута и непрерывна. Но вы должны заранее определить такую петлю, прежде чем использовать закон Фарадея. Поскольку цепи нет, не стесняйтесь представить себе гипотетическую замкнутую петлю, похожую на схему, которую я нарисовал выше. Или выберите любую удобную форму. Теперь применим к этой петле закон Фарадея.
Понятие «поток» не имеет смысла, если вы четко не определите поверхность, через которую вы его вычисляете. Вы не можете просто рассчитать поток «на ходу», как вы сделали в вопросе. В своем вопросе вы даже взяли «n» за нормальный вектор «стержня». Это как минимум неправильно. Вы должны выбрать предопределенную поверхность и назначить вектор нормали К ЭТОЙ ПОВЕРХНОСТИ.
Наконец, поскольку в магнитном поле движется только стержень, установка не идеальна для доказательства закона Фарадея. С этой установкой мы можем только доказать условную ЭДС.
Последнее: поскольку вы упомянули в комментариях, что в стержне не течет ток, просто установите вектор «u» равным нулю, а остальное останется прежним.
(+1) для подробного объяснения. Но в знаке +, учитывая направление вектора площади, определенно нет проблем.
@navinstudent ОП не уверен в условно правильном направлении вектора нормали. Он хочет, чтобы знак минус исходил непосредственно из доказательства, вместо того, чтобы думать о «законе Ленца».
Более того, закон Ленца нельзя вывести непосредственно из одного только знака минус. Закон Ленца гласит, что ЭДС индукции будет иметь такое направление, что она «противостоит» изменению магнитного потока из-за ВНЕШНИХ источников. Но термин потока в законе Фарадея относится к потоку, создаваемому внешними источниками, плюс поток, создаваемый из-за тока, протекающего в самой цепи (поищите самоиндукцию). Таким образом, знак минус не может быть добавлен «в конце», даже если известен закон Ленца. Точно так же закон Ленца не очевиден только из-за знака минус. Поэтому важно получить правильный знак в доказательстве.
И я должен еще раз упомянуть, что стержень, движущийся в магнитном поле, не является хорошей установкой для доказательства закона Фарадея. Вместо этого начните с замкнутого цикла
Закон Фарадея просто гласит, что ЭДС индукции определяется скоростью изменения потока, и ее направление должно противодействовать увеличению или уменьшению потока. Математически это просто как e = -d (phi) / dt. любое мгновение. Остальное следует из моего ответа.
Можно ли доказать закон Фарадея? Я догадался, что это экспериментальный закон, и его можно проверить, проведя эксперименты.
@navinstudent Это для случаев, когда магнитные поля не меняются со временем. Эту часть легко доказать. Вы хоть правильно прочитали вопрос? Его сомнения касаются доказательства. Он почти доказал это для частного случая, хотя и не знал, как получить правильный знак. Когда магнитное поле меняется со временем, это включает в себя концепции относительности и т. д.

Фробениус · Answer 2

Задайте поверхность $\:S\:$ (физический или мнимый) и его граничная замкнутая кривая $\:C\:$ . Задайте единичные векторы нормали к поверхности $\:\mathbf{n}\:$ . Эти векторы определяют направление $\:\overrightarrow{n_c}\:$ на кривой $\:C\:$ по правилу правой руки. Определить магнитный поток через поверхность $\:S\:$

\begin{matrix} (01) & Φ \equiv \iint_{С} Б \cdot г С знак равно \iint_{С} (Б \cdot н) г С \end{matrix}

$\begin{equation} \Phi\equiv \iint\limits_{S}\mathbf{B}\boldsymbol{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}=\iint\limits_{S}\left(\mathbf{B}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{n}\right)\mathrm{d}\mathrm{S} \tag{01} \end{equation}$ Теперь ЭДС в кривой

C

$\:C\:$ индуцировал бы ток

i_{c}

$\:i_c\:$ которое, согласно закону Ленца, имело бы направление

\begin{matrix} (02) & Направление я_{с} знак равно - (признак \frac{г Φ}{г т}) \times (направление на кривой \vec{н_{с}}) \end{matrix}

$\begin{equation} \text{direction of }\mathrm{i}_c= -\left(\text{sign of } \dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} \right)\times \left(\text{direction on curve } \overrightarrow{n_c} \right) \tag{02} \end{equation}$ так что магнитный поток магнитного поля, создаваемого током

i_{c}

$\:\mathrm{i}_c\:$ будет противодействовать изменению магнитного потока из-за ВНЕШНИХ источников, как комментирует Кальян под своим ответом:

Более того, закон Ленца нельзя вывести непосредственно из одного только знака минус. Закон Ленца гласит, что ЭДС индукции будет иметь такое направление, что она «противостоит» изменению магнитного потока из-за ВНЕШНИХ источников.

Обратите внимание, что направление тока $\:\mathrm{i}_c\:$ (02) не зависит от выбора единичных векторов нормалей $\:\mathbf{n}\:$ . Ибо если мы выберем противоположности

\begin{matrix} (03) & н^{'} знак равно - н \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{n'}=-\mathbf{n} \tag{03} \end{equation}$ тогда у нас есть противоположное направление на кривой

\begin{matrix} (04) & \vec{н_{с}^{'}} знак равно - \vec{н_{с}} \end{matrix}

$\begin{equation} \overrightarrow{n'_c}=-\overrightarrow{n_c} \tag{04} \end{equation}$ противоположный магнитный поток

\begin{matrix} (05) & Φ^{'} знак равно \iint_{С} Б \cdot г С знак равно \iint_{С} (Б \cdot н^{'}) г С знак равно - \iint_{С} (Б \cdot н) г С знак равно - Φ \end{matrix}

$\begin{equation} \Phi'=\iint\limits_{S}\mathbf{B}\boldsymbol{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}=\iint\limits_{S}\left(\mathbf{B}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{n'}\right)\mathrm{d}\mathrm{S}=\boldsymbol{-}\iint\limits_{S}\left(\mathbf{B}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{n}\right)\mathrm{d}\mathrm{S}=\boldsymbol{-}\Phi \tag{05} \end{equation}$ но то же направление индукционного тока

\begin{aligned} Направление я_{с}^{'} & знак равно - (признак \frac{г Φ^{'}}{г т}) \times (направление на кривой \vec{н_{с}^{'}}) \\ знак равно - (- признак \frac{г Φ}{г т}) \times (- направление на кривой \vec{н_{с}}) \\ (06) & знак равно Направление я_{с} \end{aligned}

$\begin{align} \text{direction of }\mathrm{i}'_c & = \boldsymbol{-}\left(\text{sign of } \dfrac{\mathrm{d}\Phi'}{\mathrm{d}t} \right)\times \left(\text{direction on curve } \overrightarrow{n'_c}\right)\\ & = \boldsymbol{-}\left(\boldsymbol{-}\text{ sign of } \dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} \right)\times \left(\boldsymbol{-}\text{ direction on curve } \overrightarrow{n_c}\right)\\ & = \text{direction of }\mathrm{i}_c \tag{06} \end{align}$

Теперь, несомненно, величина ЭДС в вашем вопросе равна

\begin{matrix} (07) & | е м ф | знак равно | \begin{matrix} - \frac{г Φ}{г т} \end{matrix} | знак равно Б в ℓ \end{matrix}

$\begin{equation} \vert \mathrm{emf}\vert=\begin{vmatrix} \boldsymbol{-}\dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}\end{vmatrix}=Bv\ell \tag{07} \end{equation}$ но его полярность показана на рисунке ниже. Вектор магнитного потока

B

$\:\mathbf{B}\:$ считается постоянной, указывающей на положительное

z

$\:z$ -ось.

Итак, представьте, что ваш стержень цилиндрически катится по двум противоположным сторонам прямоугольной проволоки. У вас две поверхности раздевалки, одна задняя $\:S_b\:$ , один фронт $\:S_f\:$ . Применение закона Фарадея с законом Ленца к любой поверхности $\:S_\jmath \,(\jmath=b,f)\:$ с любой единицей нормально $\:\pm\,\mathbf{n_\jmath}\,(\jmath=b,f)\:$ вы получите тот же результат для полярности движущей ЭДС.

Примеры :

(1) Если мы определим единицу нормали к задней поверхности $\:S_b\:$ в качестве $\:\mathbf{n_b}\:$ указывая на положительный $\:z$ -ось, см. рисунок, то этот вектор определяет направление против часовой стрелки (если смотреть с положительной $\:z\:$ ) направление $\:\overrightarrow{\rm{EFCDE}}\:$ на кривой (прямоугольной) $\:\rm{EFCDE}$ . поток $\:\Phi_b\:$ через $\:S_b\:$ повышается, $\:\mathrm{d}\Phi_b/\mathrm{d}t >0$ , так что направление гипотетического тока $\:\mathrm{i}_b\:$ , из чего будем делать вывод о полярности ЭДС, направлена по часовой стрелке, как показано на рисунке, так как

\begin{aligned} Направление я_{б} & знак равно - (признак \frac{г Φ_{б}}{г т}) \times (против часовой стрелки) \\ знак равно - (+) \times (против часовой стрелки) \\ (08) & знак равно по часовой стрелке \end{aligned}

$\begin{align} \text{direction of }\mathrm{i}_b & = \boldsymbol{-}\left(\text{sign of } \dfrac{\mathrm{d}\Phi_b}{\mathrm{d}t} \right)\times \left(\text{anti-clockwise } \right)\\ & = \boldsymbol{-}\left(\boldsymbol{+}\right)\times \left(\text{anti-clockwise } \right)\\ & = \text{clockwise} \tag{08} \end{align}$ Отметим, что линии плотности магнитного потока поля, создаваемого этим гипотетическим током

i_{b}

$\:\mathrm{i}_b\:$ пересечет поверхность

S_{b}

$\:S_b\:$ (это прямоугольник

E F C D E

$\:\rm{EFCDE}$ ) с направлением в минус

z

$\:z$ -ось, противодействующая возрастающему потоку

Φ_{b}

$\:\Phi_b\:$ .

(2) Если мы определим единицу нормали к передней поверхности $\:S_f\:$ в качестве $\:\mathbf{n_f}\:$ указывая на негатив $\:z$ -ось, см. рисунок, то этот вектор определяет направление по часовой стрелке (если смотреть с положительной $\:z\:$ ) направление $\:\overrightarrow{\rm{AEFBA}}\:$ на кривой (прямоугольной) $\:\rm{ABFEA}$ . поток $\:\Phi_f\:$ через $\:S_f\:$ уменьшается по величине, но увеличивается по алгебраическому значению, $\:\mathrm{d}\Phi_f/\mathrm{d}t >0$ , так что направление гипотетического тока $\:\mathrm{i}_f\:$ , из чего делаем вывод о полярности ЭДС, направлена против часовой стрелки, как показано на рисунке, так как

\begin{aligned} Направление я_{ф} & знак равно - (признак \frac{г Φ_{ф}}{г т}) \times (по часовой стрелке) \\ знак равно - (+) \times (по часовой стрелке) \\ (09) & знак равно против часовой стрелки \end{aligned}

$\begin{align} \text{direction of }\mathrm{i}_f & = \boldsymbol{-}\left(\text{sign of } \dfrac{\mathrm{d}\Phi_f}{\mathrm{d}t} \right)\times \left(\text{clockwise } \right)\\ & = \boldsymbol{-}\left(\boldsymbol{+}\right)\times \left(\text{clockwise } \right)\\ & = \text{anti-clockwise} \tag{09} \end{align}$ Отметим, что линии плотности магнитного потока поля, создаваемого этим гипотетическим током

i_{f}

$\:\mathrm{i}_f\:$ пересечет поверхность

S_{f}

$\:S_f\:$ (это прямоугольник

A B F E A

$\:\rm{ABFEA}$ ) с направлением в плюс

z

$\:z$ -ось, противодействующая возрастающему потоку

Φ_{f}

$\:\Phi_f\:$ .

Розовый · Answer 3

Помните, что поток определяется как $\vec{B} \cdot \vec{A}$ .так что если $\vec{B}$ и $\vec{A}$ находятся в противоположных направлениях, это просто приведет к отрицательному знаку. Таким образом, ваш второй случай сведется к первому.

Оба ваших подхода верны. Позвольте мне объяснить, как это сделать.

Рассмотрим стержень, движущийся со скоростью v. Пусть магнитное поле направлено вверх. Рассмотрим силу, действующую на электрон под действием магнитного поля. Можно считать, что скорость электрона внутри проводника такая же, как и скорость самого проводника. Легко видеть, что сила, действующая на электрон, направлена в направлении +y. Следовательно, на стержень будет действовать ЭДС индукции. Вычислим эта эдс.

Как вы указали

е м ф знак равно \int в \times Б . г л

$emf=\int v\times B.dl$ Здесь становится необходимым определить направление dl . Как мы уже видели ранее, сила, действующая на электрон внутри проводника, направлена в направлении +y. Таким образом, очевидно, что ЭДС индукции будет генерироваться с ее более высоким потенциалом на нижнем конце. Итак, мы должны выбрать направление dl как направление -y. Теперь настала очередь определить вектор площади. Я не буду повторять то, что вы уже показали.

Б \frac{г}{г т} \int г л \times г л^{'}

$B \frac{d}{dt}\int dl \times dl'$ где dl' — малое перемещение в направлении скорости стержня. Направление dl $\times$ dl' равно +z . Обязательно, если мы возьмем направление вектора нормали в качестве направления -z, оно уменьшится до вашего первого случая, иначе оно уменьшится до вашего второго случая.

Спасибо за ответ, но что вы подразумеваете под «это просто приведет к отрицательному знаку»? Я думаю, что я должен получить знак минус явно , независимо от того, что $\bf{B}$ и $\bf{S}$ имеют одинаковое направление или нет.
@Sørën Помните, что направление вектора площади определяется просто $\vec{n}$ .
@Sørën да, это правда, обычно вы должны получить отрицательный знак, но затем вы должны следовать общепринятому направлению вектора площади, которое задается правилом правой руки. Однако, если направление вектора площади изменено на противоположное, вы получите другой результат. однако оба они верны. Я отредактирую свой ответ, чтобы объяснить, как это сделать.
@Sørën, пожалуйста, ознакомьтесь с правкой. Не стесняйтесь указывать на то, что мне неясно.
Вы явно не уловили суть обсуждения. Где замкнутый цикл, который нам нужно определить?
@Kalyan Замкнутая петля формируется мгновенно, когда стержень смещается на расстояние dl 'в направлении скорости.
Если мы возьмем обычное направление, мы получим обычную формулу. Однако нет жесткого и быстрого правила для выбора направления вектора нормали. Это приведет к другой, но практически той же формуле.

Закон Фарадея от силы Лоренца в случае движущегося проводящего стержня: как должны быть ориентированы векторы?

Сёрен

Розовый

Ответы (3)

Ньютон

Сёрен

Ньютон

Ньютон

Ньютон

Ньютон

Розовый

Ньютон

Ньютон

Ньютон

Розовый

Розовый

Ньютон

Ньютон

Фробениус

Ньютон

Розовый

Сёрен

Розовый

Розовый

Розовый

Ньютон

Розовый

Розовый

Притягивают ли магниты магнитные материалы, вызывая в них магнетизм?

Потеря энергии при падении постоянного магнита через катушку?

Противоречие в законе Фарадея и ЭДС движения

Чему равен полный магнитный поток через катушку?

Непонимание правила правого винта для магнитных полей

Можете ли вы продемонстрировать закон Фарадея, используя самоиндукцию?

Можно ли создать скрученный стержневой магнит и будет ли у него скрученное магнитное поле?

Уравнения Максвелла и электрические и магнитные поля, полученные неоднократно

Пример лягушки на магнитной подушке

Почему закон Ленца не предсказывает поведение стержня на пружинах в магнитном поле?