Зависимость электрического поля от расстояния

Как можно доказать, что для точечного заряда Е пропорциональна

1 / р 2
используя концепцию линий электрического поля (или силовых линий)? Я пытался показать, что если силовые линии расположены близко, то величина электрического поля выше. Но, я не смог показать данную зависимость.

Как вы показали, что если силовые линии расположены близко, поле выше? (Возможно, вы сможете использовать это, а также расчет плотности силовых линий по мере удаления от точки, чтобы прийти к выводу.)
В основном потому, что электрическое поле является производной электрического потенциала, а электрический потенциал обратно пропорционален расстоянию до точечного заряда. Но это может быть не то, что вы ожидали…

Ответы (4)

Таким образом, нет никакого реального теоретического доказательства обратной квадратичной зависимости электрического поля в классической электродинамике. Это экспериментальный факт, известный как закон Кулона. В сочетании с принципом суперпозиции это дает нам закон Гаусса классической электродинамики:

∇ ⋅ Е "=" р ϵ 0 .

Но можно также думать о законе Гаусса как об экспериментальном факте, и из него можно вывести (с подходящими физическими предположениями) зависимость обратного квадрата электрического поля заряженной сферы следующим образом:

Возьмем сферический заряд, заряд которого Вопрос распределена сферически симметрично в пределах некоторого радиуса а . Рассмотрим поверхность с центром в центре сферы и радиусом р > а . Теперь можно утверждать, что в каждой точке сферической оболочки единственное направление электрического поля может быть либо радиально наружу, либо радиально внутрь. Кроме того, если электрическое поле направлено радиально внутрь в одной из точек сферической оболочки, то оно должно быть направлено радиально внутрь во всех других точках сферической оболочки. Кроме того, величина электрического поля должна быть одинаковой в каждой точке рассматриваемой сферической оболочки.

Таким образом, интеграл ∬ С Е ⋅ г А (где С обозначают интегрирование по сферической поверхности) также можно записать как 4 π р 2 Е где Е является величиной электрического поля, принимаемой положительной, если оно направлено радиально наружу, и отрицательной, если оно направлено радиально внутрь. (Это всего лишь соглашение — вы можете изменить его и получить правильное физическое направление электрического поля при условии, что правильно используете векторное исчисление.) Теперь, согласно закону Гаусса, этот интеграл должен быть равен общему заряду внутри сферического поверхность, разделенная на ϵ 0 . то есть Вопрос / ϵ 0 . Поэтому,

4 π р 2 Е "=" Вопрос ϵ 0

Или,

Е "=" 1 4 π ϵ 0 Вопрос р 2 .

Так как ничего особенного в радиусе не было р за исключением р > а , то эту формулу можно считать справедливой для любого р > а .

Не используйте **E**для рендеринга Е , использовать \mathbf Eвместо этого.
Мне нравится твой ответ. Однако это закон Кулона из закона Гаусса. Мне было интересно узнать о чем-то с более прямой связью с линиями E.Field. Что, если R < а? Как это сделать тогда??
Если р < а тогда поле не идет как обратный квадрат радиуса. Используя ту же процедуру интегрирования (с аргументами симметрии), вы можете видеть, что если плотность заряда однородна внутри заряженной сферы, то поле увеличивается линейно с радиальным расстоянием для р < а . Закон Кулона из закона Гаусса ближе всего можно сделать по сравнению с тем, что вы хотите сделать. На самом деле, если вы видите, само представление о силовых линиях как о линиях, исходящих из заряда и уходящих вовне, возникает из признания факта справедливости закона Гаусса. Потому что иначе эти...
... линии заканчивались бы и исходили из самого вакуума, и мы просто не могли представить линии поля, как мы это делаем сегодня. (Я имею в виду, что мы не могли связать с ним одно и то же значение.)
Итак, если R<a, то обратной квадратичной зависимости электрического поля не существует... Я все еще запутался. Мой репетитор рассказал мне о какой-то штуке с твердым углом, которую я не мог понять.
Да. Для р < а закон обратных квадратов не выполняется. Учитывая нерасходящийся характер электрического поля, за исключением точек, где есть некоторая плотность заряда, вы можете представить силовые линии как несколько длинных тонких стержней, прикрепленных к поверхности заряженной сферы и направленных радиально наружу. Теперь рассмотрим некоторый телесный угол Ом с началом в центре сферы. Вы можете оценить, что количество стержней остается постоянным (скажем, Н ) на всем протяжении телесного угла....
... Следовательно, плотность этих стержней на любом участке сферической поверхности радиусом р > а можно считать Н Ом р 2 . Теперь, связав стержни с линиями поля со стержнями, можно понять, что поверхностная числовая плотность этих стержней обозначает величину электрического поля. Так как эта плотность идет как 1 р 2 мы можем видеть, что напряженность поля также остается такой же.

Вы можете доказать это, используя понятие электрического потока. Например. Если вы окружите точечный заряд сферой, если r = 1, или сферой, если r = 10, вы знаете, что электрический поток (напряженность поля, умноженная на площадь) должен быть одинаковым. Сфера проста, потому что каждая точка равноудалена от заряда.

Электрический поток, проходящий через обе сферы, я имею в виду

Это гораздо более глубокий вопрос, чем кажется на первый взгляд. Простая логика, данная @Anthony B, недостаточна для доказательства закона обратных квадратов. Для проверки этого закона было проведено множество экспериментов. В этом обзоре собраны экспериментальные работы .

Ранее Кавендиш и Кулон провели эксперименты с проводящими полусферами и торсионной пружиной, доказавшие закон обратных квадратов.

Прокс и де Брольжи предположили, что если фотоны имеют массу покоя, то будут отклонения от закона обратных квадратов. Однако оценки массы покоя фотонов очень низкие.

Если есть отклонение от закона обратных квадратов, то будет критическая ситуация для физики.

Как сказал Энтони Б., количество силовых линий, пересекающих любую сферу, окружающую точечный заряд, одинаково (поскольку любая силовая линия, проходящая через сферу радиусом 1, также проходит через сферу радиусом 200), учитывая, что поток = E 4pi r^2 должно быть постоянным. Это теоретически объясняет зависимость 1/r^2.

да, я согласен, но я ищу что-то кроме закона Гаусса. Что-то прямо из строк E.Field.
Зависимость электрического поля от расстояния
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v