Знак drdrdr в геодезических схемах Шварцшильда

Чтобы определить геодезическую, вы должны зафиксировать ее начальную точку и ее начальный касательный вектор все в точке.$t=0$. Мы всегда можем предположить$\theta_0 = \pi/2$, тогда как$\phi_0$, и$r_0$являются произвольными. Конечно$d\theta/dt|_0=0$,$dt/dt|_0=1$, пока$d\phi/dt|_0= \dot{\phi}_0$и$dr/dt|_{0}= \dot{r}_0$являются произвольными.

Используя эти значения, вы определяете значения$L^2$и$E^2$что, поскольку они постоянны, их можно определить по данным при$t=0$. Так$E^2$и$L^2$известны. Поэтому с точностью до знака правая часть

уже известно, как только вы зафиксируете начальные условия. Пока не$\dot{r}_0=0$, это число имеет знак. Именно этот знак вы должны выбрать в (1), так как по непрерывности (а рассматриваемые функции$C^2$по крайней мере) знак не меняется вокруг$t=0$.

Если вы предполагаете$\dot{r}_0=0$, знак определяется другими начальными условиями при более тщательном анализе.