Насколько велика гравитационная сфера влияния Земли и как ее можно рассчитать?

Есть пара определений, но самое полезное из них называется Hill Sphere . По сути, это область, вокруг которой можно вращаться вокруг объекта и не быть оттянутым другим объектом (например, Солнцем). Как говорится в связанной статье, его можно рассчитать для объектов, у которых один объект намного массивнее другого (почти в каждом интересующем случае), используя следующую формулу:

$r \approx a (1-e) \sqrt[3]{\frac{m}{3 M}}$

Где$e$- эксцентриситет орбиты,$m$является менее массивным объектом, и$M$является более массивным объектом, и$a$- большая полуось (расстояние между объектами).

Предполагая круговую орбиту, которая упрощает математику, получаем, что это расстояние равно:

$r \approx a \sqrt[3]{\frac{m}{3 M}}$

Сфера холмов Земли составляет около 1 500 000 км, как показано на этом графике из Википедии .

Сфера влияния

Гравитационная сфера влияния задает вопрос, какое из двух гравитирующих тел следует использовать в качестве источника для целей моделирования поведения какого-либо третьего тела, такого как космический корабль. Это проявляется как минимум в двух ключевых моментах:

• В приближении с исправленной коникой, где правильно переключаться с одной коники на другую?

• Когда космический корабль движется от большого тела к меньшему телу, когда навигация космического корабля должна переключаться с точки зрения, ориентированной на большое тело, на точку зрения, ориентированную на малое тело?

Если смотреть на вещи с точки зрения системы отсчета с ее началом в центре меньшего тела, гравитационное ускорение по отношению к большему телу рассчитывается как «эффект третьего тела» (извините за запутанную номенклатуру, это не мое) . Ответом на поставленные выше вопросы (где мне переключать исправленные коники/где мне переключать летное ПО) является поверхность, на которой это возмущающее ускорение третьего тела равно по величине ускорению свободного падения по отношению к меньшему телу. Эта поверхность имеет довольно сложную форму, близкую к сплюснутому сфероиду, но не может быть выражена в терминах элементарных функций. Однако «правильное» место на линии, соединяющей два тела, можно выразить просто. Относительно меньшего тела это расстояние равно$R\left(\frac m M\right)^{2/5}$, куда$R$расстояние между двумя телами,$m$- масса меньшего тела, а$M$- масса большего тела.

Кто разработал эту концепцию? Это хороший вопрос. Некоторые аэрокосмические учебники называют это сферой влияния Лагранжа в честь Жозефа-Луи Лагранжа, другие называют это сферой влияния Тиссерана в честь Феликса Тиссерана, а третьи просто называют это сферой влияния, и точка.

Сфера холма

Сфера Хилла задает несколько иной вопрос: если меньшее тело вращается вокруг большего тела, может ли еще меньшее тело вращаться вокруг меньшего тела? Сфера Хилла (также известная как сфера Роша) смотрит на вещи с точки зрения энергии, а не силы. Одним из ключевых событий, инициированных Лагранжем, было переключение внимания с ньютоновского акцента на силе на энергию. Лагранжева физика, а позже и гамильтонова физика, были полностью переписанной классической механикой. Во многих случаях, особенно при сохранении энергии, имеет смысл смотреть на вещи с точки зрения энергии, а не силы.

Так что же определяет, является ли орбита стабильной? Ответ очень сложный. В задаче трех тел, если этот третий объект остается в пределах чрезвычайно сложной границы, называемой полостью Роша, орбита этого третьего объекта вокруг меньшего тела будет стабильной, по крайней мере, в течение некоторого времени. Доля Роша только касается точек L1 и L2 и выходит оттуда веером. Джордж Хилл использовал точку L1 для определения сферы, аппроксимирующей полость Роша. Это все еще неразрешимо; точка L1 определяется полиномом пятой степени, который не может быть решен в терминах элементарных функций. Хилл еще больше упростил ситуацию, поняв, что простое кубическое уравнение дает очень хорошее приближение к этому трудноразрешимому уравнению пятого порядка. Результат$R\left(\frac m {3M}\right)^{1/3}$.

Так что же "правильно"?

Так что же «правильно»: сфера влияния Лагранжа/Тиссерана или сфера Хилла? Во-первых, важно отметить, что оба являются приблизительными. Это мутит воду относительно того, что «правильно». Что еще более важно, эти две концепции затрагивают очень разные вопросы. Если вы выполняете миссию по отправке космического корабля на Луну или другую планету, вы должны использовать сферу влияния. Точно так же вам, вероятно, следует использовать сферу влияния, если вы строите подсистему наведения и навигации для этого космического корабля. С другой стороны, если вы возвращаете астероид на Землю для добычи полезных ископаемых, вы, вероятно, захотите поместить его на далекую селеноцентрическую ретроградную орбиту. Теперь сфера Хилла — правильный выбор в отношении орбиты, на которую вы поместите свой астероид.

Что касается вопроса, то сфера влияния является правильным ответом просто потому, что спрашивающий спрашивал о сфере влияния, а не о сфере Хилла. Будь то Лагранж или Тиссеран, оба имеют «сферу влияния», называя приоритет над Хиллом просто потому, что оба предшествуют Хиллу.

Я признаю, что это смехотворно придирчиво. «Правильный» ответ состоит в том, что эти две концепции касаются двух разных вопросов. Оба «правы».

Источники:

Сфера влияния: http://en.wikipedia.org/wiki/Sphere_of_influence_(astrodynamics) или практически любой учебник по астродинамике в аэрокосмической технике. Например, о сфере влияния пишут и Вальядо ( «Основы астродинамики и приложения» ), и Бейт, Мюллер и Уайт ( «Основы астродинамики» ).

Сфера холма: http://en.wikipedia.org/wiki/Hill_sphere или практически любой учебник или журнальная статья, посвященная инвариантным многообразиям применительно к исследованию космоса. Например, Кун, Ло, Марсден и Росс ( «Динамические системы», «Проблема трех тел» и «Проектирование космической миссии» ) пишут о сфере Хилла.

Это то, что я использую на уроках, это стандартные формулы из любого учебника. Определить 2 функции

sphereOfInfluence[dominantMass_, minorMass_, distanceBetween_] := 
   (minorMass/dominantMass)^(2/5)*distanceBetween

sphereOfGravitation[dominantMass_, minorMass_, distanceBetween_] := 
   (minorMass/dominantMass)^(1/2)*distanceBetween
   (*valid only for  minorMass<<dominantMass*)

Например, чтобы найти SOI земли относительно солнца

sunMass = 1.989*10^30;
earthMass = 5.944*10^24;
earthSunDistance = 1.495978*10^8;
earthSOI = sphereOfInfluence[sunMass, earthMass, earthSunDistance]

(* 922790.  in km *)

Найти луну SOI относительно земли

earthMass = 5.944*10^24;
moonMass = 7.3483*10^22;
moonEarthDistance = 384400;
moonSOI = sphereOfInfluence[earthMass, moonMass, moonEarthDistance]

(* 66317.3  in km *)

Найти гравитационную сферу Земли относительно Солнца

earthgSOI = sphereOfGravitation[sunMass, earthMass, earthSunDistance]
(* 258611. km *)

Как и ожидалось, гравитационная сфера влияния намного меньше, чем SOI.