Удлинение в стержне при неравных приложенных усилиях

Как вы правильно заметили, решение другое, когда приложенные силы не равны. Штанга не находится в статическом равновесии: как статические, так и динамические силы деформируют штангу в движении. Эти понятия иллюстрируются суперпозицией.

$$\delta = \delta_\text{static} + \delta_\text{dynamic} \qquad = \frac {F_\text{less}L}{EA} + \frac{(F_\text{more} - F_\text{less})L}{2AE}$$

---

При изменении ускорения (когда$\frac{\mathrm{d\;a(t)}}{\mathrm{dt}} \neq 0$), силы и ускорения в демпфированном твердом теле являются нестационарными, где$a(x,t)$, пока они не достигнут стационарного состояния, где$\frac{\partial{\;a(x,t)}}{\partial{x}} = 0$.

^{Переходные деформации в твердых телах иллюстрируются системой масса/пружина, где каждый элемент массы может представлять дифференциальный элемент массы.}

Второй закон Ньютона требует, чтобы брусок (массы$M$) ускоряться в направлении$F_{net}$.

$$\sum F \;\text{on bar:} \qquad F_\text{more}-F_\text{less} = Ma \qquad \Rightarrow \;\therefore a = \frac{F_\text{more} - F_\text{less}}{M}$$

Показано возникновение деформации при действии на стержень одной силы.

Динамическая деформация:

Диаграмма свободного тела строится в произвольном поперечном сечении стержня, где масса разделенного тела равна$m = (\frac{M}{L})x$. Сумма сил, действующих на$m$решается для$T(x)$.

$$\sum F \;\text{on split body:} \qquad F_{o} - T = ma$$ $$F_{o} - T = \overbrace{\left(\frac{M}{L}x\right)}^\text{m} \overbrace{\left(\frac{F_{o}}{M}\right)}^\text{a} = \frac{F_{o}}{L}x \qquad \Rightarrow \qquad T = F_{o} - \frac{F_{o}x}{L}$$ $$\therefore T = F_{o}\left(1-\frac{x}{L}\right)$$ Статическая осевая деформация ( $\delta = \frac{FL}{AE}$), записанный в дифференциальной форме:
$$\mathrm{d \delta} = \frac{T \mathrm{dx}}{AE} = \frac{[F_{o}(1-\frac{x}{L})]\mathrm{dx}}{AE}$$ Проинтегрируйте дифференциальную деформацию по длине стержня, чтобы определить общую деформацию: $$\delta = \int_0^L \mathrm{d \delta} \; = \frac{F_{o}}{AE} \int_0^L 1-\frac{x}{L} \mathrm{dx} \implies \; \delta = \frac{F_{o}L}{2AE}$$

Вывод можно обобщить, включив в него обе силы, где интегрирование$T(x) = F_\text{more} - \dfrac{F_\text{more}-F_\text{less}}{L}x$приводит к тому же решению, заданному суперпозицией.

$$\therefore \delta = \; \overbrace{\frac{F_\text{more}L}{2AE} + \frac{F_\text{less}L}{2AE}}^\text{Integration} \;=\; \overbrace{\frac{F_\text{less}L}{AE} + \frac{(F_\text{more}-F_\text{less})L}{2AE}}^\text{Superposition}$$

---

Использованная литература:

• Анализ напряжений и деформаций линейно-упругих стержней при растяжении
• Введение в эластичность

$$T= F_\text{more} - \frac{(F_\text{more}-F_\text{less})x}{L}$$

где$T$напряжение в проводе,$x$расстояние от$F_\text{more}$

Рассмотрим ту же часть,

Сейчас,

стресс

$$\frac{T}{A} = Y\frac{dn}{dx}\;,$$

где$n$это удлинение в проводе.

$$\frac{T}{A}= F_\text{more} - \frac{(F_\text{more}-F_\text{less})}{LA}\;x= Y\frac{dn}{dx}\\\implies \frac{(F_\text{more} - F_\text{less})}{L}\; xdx= YdnA$$

При интегрировании обеих сторон

$$F_\text{more}\;x - \frac{(F_\text{more}-F_\text{less})}{L}\;\frac{x^2}{2} = YNA$$

Установление ограничений

$$F_\text{more}\;L - (F_\text{more}-F_\text{less})\;\frac{L}{2}= YNA\\ \implies \frac{F_\text{more}- \dfrac{(F_\text{more}- F_\text{less})}{2}}{A} = \frac{YN}{L}= \text{stress in wire}\;.$$

Отсюда удлинение

$$N =\frac{L\left(F_\text{more} - \dfrac{(F_\text{more}-F_\text{less})}{2}\right)}{AY}\;.$$