Квантовые системы с реальной структурой

Много было сказано о том, зачем квантовой механике нужны комплексные числа.

Однако все измерения дают реальные значения. Ожидаемые значения реальны, наблюдаемые образуют настоящую алгебру Ли (используйте$-\mathrm i[·,·]$как скобка Ли вместо исходного коммутатора) и любое состояние$\mathbf z$однозначно определяется вещественной функцией$P_{\mathbf z}(·) = |\langle \mathbf z,·\rangle|^2$на пространстве состояний.

Однако само пространство состояний представляет собой сложное проективное пространство, и хотя фазовые факторы не имеют значения при выборе значений ожидания, они имеют значение при объединении состояний — линейной суперпозиции.$α\mathbf z + β\mathbf z'$зависит от рациона$|α|/|β|$а также разность фаз$\arg(α) - \arg(β)$.

Но есть по крайней мере одна важная квантовая система, которую можно смоделировать как реальную систему: кубит, то есть пространство спиновых состояний одного электрона.

Помимо стандартного представления в виде$\mathbf z=(z_1,z_2)\in\mathbb C^2,\langle \mathbf z,\mathbf z\rangle =1$, состояния также могут быть представлены как$\vec z\in\mathbb R^3,\vec z^2=1$с помощью

$$\vec z = \begin{pmatrix} \langle\mathbf z,\pmb σ_1\mathbf z\rangle\\ \langle\mathbf z,\pmb σ_2\mathbf z\rangle\\ \langle\mathbf z,\pmb σ_3\mathbf z\rangle \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\Re(\bar z_1z_2)\\ 2\Im(\bar z_1z_2)\\ |z_1|^2 - |z_2|^2 \end{pmatrix}$$ где $\pmb σ_1, \pmb σ_2, \pmb σ_3$являются матрицами Паули.

Это известное расслоение Хопфа.

Что делает это полезным, так это тот факт, что$P_z$принимает особую простую форму:

$$P_{\mathbf z}(\mathbf z') = \frac 12 (1 + \vec z·\vec z') = \frac 12 (1 + \cos\measuredangle(\vec z,\vec z'))$$

Это также означает, что государства$\mathbf z,\mathbf z'$ортогональны в$\mathbb C^2$именно когда$\measuredangle(\vec z,\vec z')=180°$в$\mathbb R^3$, т.е.$\vec z'=-\vec z$

Ожидаемое значение любой наблюдаемой$\mathbf A$может быть расширен с точки зрения$P_{\mathbf a_i}$после выбора ортонормированных собственных векторов$\{\mathbf a_i\}$, т.е.

$$\langle\mathbf z,\mathbf{Az}\rangle = \sum_i α_iP_{\mathbf a_i}(\mathbf z)$$ где $\{α_i\}$обозначают собственные значения.

Подставив наше определение$P_{\mathbf a_i}$и используя тот факт, что$\mathbf a_1=-\mathbf a_2$, это просто

$$\langle\mathbf z,\mathbf{Az}\rangle = \frac 12(α_1 + α_2) + \frac 12(α_1-α_2)\,\vec a_1·\vec z$$

Ограничивая себя в$\mathfrak{su}(2)$, т.е. бесследовые матрицы с$α_2=-α_1$, дает

$$\langle\mathbf z,\mathbf{Az}\rangle = \vec A·\vec z$$ где $\vec A=α_1\,\vec a_1$является представлением нашей наблюдаемой.

Мы пришли к квантовой системе, которую можно описать только школьной математикой.

После этого длинного изложения, наконец, мой вопрос: существуют ли другие квантовые системы с похожей реальной структурой? Если нет, то есть ли какая-то конкретная причина?

Обновлять

Чтобы лучше понять проблему, я прочитал о сложных многообразиях, и кажется, что кубит действительно особенный.

В частности, проективные пространства$P_n\mathbb C$ комплексные многообразия, а сферы$S^k$не допускают даже почти сложных структур для$k\not= 2,6$(Борель, Серр, 1951) и в общем случае отсутствуют как пространства состояний.

Конечномерные комплексные проективные пространства могут быть реализованы как различные однородные пространства. В частности, мы имеем очевидное

$$P_n\mathbb C \cong \mathbb C^{n+1}\setminus\{0\}\:\big/\:\mathbb C^*$$ не столь очевидное $$P_n\mathbb C \cong U(n+1)\:\big/\:U(n)\times U(1)$$ и тот, который, вероятно, самый четкий $$P_n\mathbb C \cong S^{2n+1}\:\big/\:S^1$$ но не означает, что мы имеем дело со сложными пространствами. Это частное также дает только сферу для $n=1$, то есть наш случай кубита.

Страница Википедии о расслоении Хопфа ссылается на эту статью , где расслоение

$$S^7\xrightarrow{S^3}S^4$$ используется для моделирования пространства состояний $P_3\mathbb C$из двух кубитов. Несмотря на то , что в этом расслоении может быть некоторое понимание структуры пространства состояний, оно менее естественно (и менее полезно, если уж на то пошло), чем однокубитное расслоение Хопфа. $$S^3\xrightarrow{S^1}S^2$$ где на самом деле $S^2 \cong P_1\mathbb C$, тогда как очевидно $S^4\not\cong P_3\mathbb C$поскольку они даже не имеют одинаковых размеров, если рассматривать их как реальные многообразия.