Полуцелый угловой момент

Частицы имеют полуцелый спин! Все фермионы делают. Именно бозоны должны иметь целочисленный спин.

Спин - это собственный угловой момент частицы. Вы можете попытаться представить, что частица вращается, если это поможет вам лучше спать, но на самом деле это не так.

Возможно, вы слышали, что угловой момент сохраняется из-за симметрии относительно вращения. В квантовой механике это делается еще более экстремально — угловой момент просто характеризует, как квантовое состояние трансформируется при вращении. В этом смысле высказывание о том, что электрон имеет спин 1/2, означает, что электрон не осесимметричен (но это не значит, что он эллипсоид или что-то в этом роде!), а скорее превращается (квантово-механически!) при вращении в простейшую несимметричную форму. - возможен тривиальный способ. Оказывается, это означает, что он также имеет собственный угловой момент в силу квантово-механических законов. Единственный способ по-настоящему понять ее — тщательно изучить квантовую механику с самых основ.

Кстати,$m$то, что вы используете в вопросе, - это просто проекция углового момента на ось. Даже если у вас есть интегральный угловой момент, вы все равно всегда «вращаетесь» в каком-то направлении с этим полным угловым моментом, хотя проекция вашего «вращения» на ортогональную ось может быть равна нулю.

Предположим без ограничения общности, что оператор углового момента имеет только одну компоненту,$\hat{L_z}$. Можно показать, что справедливо следующее уравнение на собственные значения.

$$L_{z} |l, m \rangle = m \hbar |l, m \rangle \quad \text{such that} \quad m \in \mathbb{Z}.$$

Это означает, что собственные значения оператора орбитального углового момента являются целыми кратными$\hbar$. Вы можете показать это двумя способами:

В координатном (полярном) представлении$\hat{L_z} = -i \hbar \frac{\partial}{\partial \phi}$. Уравнение собственного значения,

$$\hat{L_z} |l, m \rangle = l_z |l, m\rangle,$$

следует, что (ненормированная) собственная функция$\hat{L_z}$является:

$$e^{\frac{il_z\phi}{\hbar}}.$$

Мы можем доказать желаемый результат следующим образом:

1. Наложение условия на то, что упомянутая собственная функция должна быть однозначной; и
2. $\hat{L_z}$является эрмитовым оператором. То есть: $$\langle \psi_1 | \hat{L_z} | \psi_2 \rangle = \langle \psi_2 | \hat{L_z} | \psi_1 \rangle ^{*}$$

Мы также можем иметь угловой момент, собственные значения которого являются полуцелыми произведениями$\hbar$. Это называется угловым моментом вращения. Можно показать, что в матрично-механической формулировке квантовой механики собственные значения углового момента в общем случае могут быть как половинными, так и полными целыми кратными$\hbar$.

Не следует думать, что спиновой угловой момент имеет классический аналог. Позволь мне привести пример:

Примените оператор вращения (какой бы ни была его функциональная форма) к квантовому состоянию со спином, направленным в положительную сторону.$z$направление. Результат следующий:

$$\hat{R}(2 \pi) | + z \rangle = -| + z \rangle,$$

где я решил повернуть состояние вращения на 360 градусов. Вопреки классической интуиции, состояние, скажем, электрона — это не то, что мы ожидаем: в классическом понимании мы ожидаем, что результат применения оператора вращения будет таким же, как и результат применения нами тождественного оператора, который даст начальное состояние как конечное состояние. Только при вращении электронов на$4 \pi$радианы, что конечное и начальное состояния совпадают. Результат одновременно противоречит интуиции и противоречит классической интуиции.

Примечание. Чтобы быть педантичным, квантовые состояния как справа, так и слева эквивалентны/одинаковы. (почему?) Поэтому, пожалуйста, предпочитайте игнорировать терминологию в ее правильной интерпретации QM, поскольку в предыдущем абзаце я пытаюсь преобразовать то, что выражения справа и слева не совпадают.

Следовательно, не следует проводить соответствие между угловым моментом вращения и классической интуицией/результатами. Например, спин электрона может быть полностью определен на сфере Блоха, и обычно используется термин, что можно совершать «вращения» на сфере Блоха, которые можно рассматривать (например) как результат эволюции во времени на сфере Блоха. сфера Блоха. Да, можем, но не следует думать об этих «поворотах» как об операциях, имеющих классический аналог во всех случаях, как, например, в предыдущем примере. Поэтому квантовый оператор, представляющий интерес в этом случае, обычно является не оператором вращения, а скорее унитарным оператором, который можно рассматривать как обобщение оператора вращения либо в комплексном векторном пространстве, либо в гильбертовом пространстве.