Почему коммутативность означает, что две наблюдаемые могут быть измерены вместе?

ФОН

Что касается принципа неопределенности Гейзенберга, мое понимание коммутирующих наблюдаемых А ^ и Б ^ что результат измерения а я не влияет (и не коррелирует) с результатом измерения б Дж потому что они а я и б Дж возникают из проекций на ортогональные собственные векторы А ^ и Б ^ , соответственно.

ВОПРОС

Чего я не понимаю, так это того, что это на самом деле означает, что А ^ не влияет (т.е. не зависит от) Б ^ ? Если я визуализирую некоторое измеренное квантовое состояние ∣ ψ ⟩ "=" α   а ^ я + β   б ^ Дж как, скажем, вектор в блоховской сфере, то измеряя А ^ рухнет ∣ ψ ⟩ на собственный вектор а ^ я (с вероятностью α ). Однако никакое последующее измерение на Б ^ стать полностью рандомизированным? Нет информации о β тогда можно будет восстановить. Поэтому я не понимаю, как можно так говорить А ^ и Б ^ могут быть измерены «одновременно».

Ответы (1)

Если две наблюдаемые коммутируют, [ А ^ , Б ^ ] "=" 0 , то это означает, что вы всегда можете найти общий набор собственных состояний. В простейшем случае спектров собственных значений А ^ и Б ^ невырожденность, то отсюда следует, что собственные состояния { | ты н ⟩ } одинаковы для обоих:

А ^ | ты н ⟩ "=" а н | ты н ⟩ , Б ^ | ты н ⟩ "=" б н | ты н ⟩ .

Если вы начнете с вашего начального состояния, записанного на основе собственных состояний А ^ , | ψ ⟩ "=" α | ты я ⟩ + β | ты Дж ⟩ , то если измерить А ^ Вы получаете а я , ваше состояние сразу после измерения | ψ ′ ⟩ "=" | ты я ⟩ .

Если вы хотите измерить Б ^ , вы должны написать свое новое состояние | ψ ′ ⟩ в основе собственных состояний Б ^ . Важно, что это | ψ ′ ⟩ "=" | ты я ⟩ потому что как А ^ и Б ^ коммутируют, поэтому они имеют один и тот же набор собственных состояний. Так | ψ ′ ⟩ уже находится в собственном состоянии Б ^ , и когда вы измеряете Б ^ ты получишь б я с вероятностью 1. Если вы измерили А ^ снова вы получите а я снова и так далее.

Это обсуждение становится более тонким, когда А ^ и/или Б ^ имеют вырожденный спектр собственных значений, но я думаю, что приведенное выше является хорошей отправной точкой для ответа на ваш вопрос.

Просто продолжение этого: если две наблюдаемые коммутируют, означает ли это, что все их собственные состояния одинаковы или что только их подмножество?
Если две наблюдаемые коммутируют, то всегда можно найти общий набор собственных состояний, охватывающий весь спектр. Недавно я подробно описал это здесь, вдаваясь в тонкости вырожденного случая: youtu.be/IhJvX4H7xkA
Смотрел ваше видео, но меня смущает вот что: допустим [ А ^ , Б ^ ] "=" 0 "=" [ А ^ , С ^ ] но [ Б ^ , С ^ ] ≠ 0 . Затем, если следовать приведенному выше примеру, измерение А ^ Б ^ А ^ на | ψ ⟩ даст последовательность измерений а я , б я , а я тогда как А ^ С ^ А ^ может дать другую последовательность а Дж , с Дж , а я где последнее измерение А ^ является а Дж ≠ а я . Как будто две последовательности, обе из которых предполагаются квантовыми неразрушающими, ведут к разным контекстам (ср. контекстуальность).
@Tfovid Пример в моем ответе указывает, что он действителен для невырожденных собственных значений. Ситуация, которую вы описываете, сложнее, потому что она возникает, когда у вас есть вырожденные собственные значения. В этом случае собственное значение А ^ будет н -fold вырождены, и вы можете построить действительные собственные состояния А ^ составление различных линейных комбинаций по н -кратное вырожденное подпространство. Тогда собственные состояния, общие для А ^ и Б ^ будут отличаться от обычных А ^ и С ^ . Если вы затем поработаете с математикой, принимая во внимание вырождение, все встанет на свои места.
@Tfovid Конкретный пример ситуации, которую вы описываете, - это когда А ^ - оператор квадрата углового момента л ^ 2 и Б ^ и С ^ две компоненты углового момента, скажем л ^ г и л ^ Икс .
Почему коммутативность означает, что две наблюдаемые могут быть измерены вместе?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v