Конвертация ECI в LVLH

Каркас LVLH прост в изготовлении. Одна конструкция:

• Позволять$\boldsymbol r$и$\boldsymbol v$обозначают положение и скорость космического корабля относительно центра планеты, выраженные в инерциальной системе отсчета.
• Построить$\hat {\boldsymbol x}$как единичный вектор, направленный вдоль вектора положения КА:
  $\hat {\boldsymbol x} = \boldsymbol r/||\boldsymbol r||$.
• Построить$\hat {\boldsymbol z}$как единичный вектор, направленный вдоль вектора орбитального углового момента КА:
  $\hat {\boldsymbol z} = \boldsymbol r \times \boldsymbol v / ||\boldsymbol r \times \boldsymbol v||$.
• Построить$\hat{\boldsymbol y}$как единичный вектор, который завершает правую систему координат:
  $\hat {\boldsymbol y} = \hat {\boldsymbol z} \times \hat{\boldsymbol x}$.

Обратите внимание: эта конструкция не уникальна. Вы увидите некоторые ссылки, имеющие то, что я обозначил как$\hat{\boldsymbol x}$и$\hat{\boldsymbol z}$отрицается. Порядок и имена осей также варьируются от одной ссылки к другой. Так что будьте осторожны при чтении ссылок на эту тему.

Система отсчета LVLH, ориентированная на космический корабль, является одновременно ускоряющей и вращающейся системой отсчета. Казалось бы, это делает уравнения движения довольно сложными. Хитрость заключается в том, чтобы линеаризовать уравнения движения для объекта (обычно называемого преследователем или преследующим транспортным средством), очень близкого к космическому кораблю (обычно называемому транспортным средством-мишенью). Игнорируя несферическую гравитацию, сопротивление, возмущения от других планет и предполагая целевой аппарат находится на круговой орбите, линеаризованные уравнения движения для преследователя, находящегося на$\boldsymbol r_{\text{rel}} = x\hat{\boldsymbol x} + y\hat{\boldsymbol y} + z\hat{\boldsymbol z}$становятся уравнениями Клохесси-Уилтшира (также здесь , вывод здесь ), также известными как уравнения Хилла,

$$\begin{aligned} \ddot x(t) &= \frac{F_x(t)}{m} + 3\omega^2 x(t) + 2\omega\,\dot y(t) \\ \ddot y(t) &= \frac{F_y(t)}{m} \phantom{3\omega^2 x(t)\ \quad} -2\omega\,\dot x(t) \\ \ddot z(t) &= \frac{F_z(t)}{m} -\phantom{3}\omega^2 z(t) \end{aligned}$$ где$\boldsymbol F(t) = F_x(t)\,\hat{\boldsymbol x} + F_y(t)\,\hat{\boldsymbol y} + F_z(t)\,\hat{\boldsymbol z}$- изменяющаяся во времени тяга, создаваемая преследователем.