Что означает для гамильтониана или системы быть щелевыми или бесщелевыми?

Это на самом деле очень сложный вопрос, математически. Физики могут подумать, что этот вопрос тривиален. Но в летней математической школе мне потребовался час, чтобы объяснить понятие гамильтониана с пробелами.

Чтобы понять, почему это сложно, давайте рассмотрим следующие утверждения. Любая физическая система имеет конечное число степеней свободы (при условии, что Вселенная конечна). Такая физическая система описывается гамильтоновой матрицей конечной размерности. Любая гамильтонова матрица конечной размерности имеет дискретный спектр. Таким образом, все физические системы (или весь гамильтониан) имеют пробелы.

Конечно, это не то, что мы подразумеваем под «щелевым гамильтонианом» в физике. Но что означает, что гамильтониан имеет пробел?

Поскольку система с лакунами может иметь бесщелевые возбуждения на границе, поэтому для определения гамильтониана с лакунами нам нужно поместить гамильтониан в пространство без границы. Кроме того, система с определенными размерами может содержать нетривиальные возбуждения (например, состояние спиновой жидкости со спинами 1/2 на решетке с нечетным числом узлов), поэтому мы должны указать, что система имеет определенную последовательность размеров поскольку мы принимаем термодинамический предел.

Итак, вот определение «гамильтониана с пробелами» в физике: рассмотрим систему на замкнутом пространстве, если существует последовательность размеров системы$L_i$,$L_i\to\infty$в качестве$i \to \infty$, так что размер-$L_i$система на замкнутом пространстве имеет следующее «свойство зазора», то говорят, что система имеет зазор. Обратите внимание, что понятие «гамильтониана с пробелами» нельзя определить даже для одного гамильтониана. Это свойство последовательности гамильтониана в пределе больших размеров.

Вот определение «свойства зазора»:$\Delta$(т.е. независимо от$L_i$) такой, что размер-$L_i$Гамильтониан не имеет собственного значения в энергетическом окне размером$\Delta$. Количество собственных состояний ниже энергетического окна не зависит от$L_i$, энергетическое расщепление этих собственных состояний ниже энергетического окна приближается к нулю, когда$L_i\to \infty$.

Число собственных состояний ниже энергетического окна становится вырождением основного состояния системы с щелью. Так определяется вырождение основного состояния топологического упорядоченного состояния . Интересно, если бы кто-нибудь очень внимательно рассмотрел определение системы многих тел с зазором, он/она мог бы открыть понятие топологического порядка математически.

Промежутки или бесщели - это различие между непрерывным и дискретным спектрами низкоэнергетических возбуждений. Для гамильтониана$H$со щелевым спектром первое возбужденное состояние имеет собственное значение энергии$E_1$который разделен пробелом$\Delta > 0$из основного состояния$E_0$. Например, дисперсионное соотношение вида$E = |k|$является примером бесщелевого (непрерывного) спектра, тогда как$E = \sqrt{k^2 + m^2}$является примером зазора.$k$обозначает волновой вектор и может быть любым действительным числом.$m$масса, которая в данном случае является причиной зазора.

Это различие приводит к качественному различию в физическом поведении систем с зазором и без отвода - самое главное, оно определяет, является ли материал проводником или изолятором. Существуют весьма интересные процессы, которые могут привести к возникновению щели, такие как взаимодействия (интересными примерами являются массовая щель в теории Янга-Миллса или щель в сверхпроводимости БКШ).

Щелевые и бесщелевые обычно являются атрибутами гамильтонианов многих тел. Гамильтониан с щелью - это просто гамильтониан, для которого существует ненулевая щель между основным состоянием и первым возбужденным состоянием.

Краткое замечание к «отредактированной» части вашего вопроса (есть ли пробел в цепочке XX или нет). Спиновая цепочка XX в магнитном поле, т. е. модель, определяемая гамильтонианом

разрывается, когда$|h| > 1$. Это не очень сложный результат, он получается сразу, если сделать обычное преобразование Жордана-Вигнера и преобразование Фурье а-ля знаменитая работа Либа, Шульца и Маттиса (Ann. Phys. 16, 407, (1961)) (хотя там$\sigma^{z}_i$термины отсутствуют, но их нетрудно включить).

Я просто хотел бы немного добавить к этим ответам в свете редактирования вопроса, который вводит «XX Spin Chains» в качестве контекста для этого вопроса. Я нашел туториал по Spin Chains . По сути, это N спинов на линии. Вот гамильтониан из той статьи, где N=2.

$H_{12}=J/4(\sigma_1^x\sigma_2^x+\sigma_1^y\sigma_2^y+\sigma_1^z\sigma_2^z - I \times I)$

В зависимости от знака J у него есть либо 3 вырожденных основных решения плюс одно возбужденное решение, либо одно основное решение. Это базовая модель ферромагнитных/антиферромагнитных состояний. В этом случае решения имеют разрыв. У них еще останется пробел для генерала Н.

Однако многие разработки этой в значительной степени интегрируемой модели произошли в недавних работах, например, с приложенным непрерывным магнитным полем. В некоторых из этих случаев модель может быть без зазоров. Существует также вопрос о том, что подразумевает модель в термодинамическом пределе.$N \rightarrow \infty$.