Справедливость преобразования Боголюбова

1) Заменим индексы импульса${\bf k}$и$-{\bf k}$с абстрактными индексами$1$и$2$, и игнорировать суммирование импульсов. Тогда гамильтониан читается

$$\tag{1}H ~=~ \begin{pmatrix}a_1^{\dagger} & a_2\end{pmatrix} M\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2^{\dagger}\end{pmatrix},$$

где

$$\tag{2} M~:=\begin{pmatrix}A & B\\B^{*} & A \end{pmatrix}~=~M^{\dagger}, \qquad A~\in~ \mathbb{R},\qquad B~\in~ \mathbb{C}.$$

Преобразование Боголюбова имеет вид

$$\tag{3} \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2^{\dagger}\end{pmatrix} ~=~U \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2^\dagger\end{pmatrix}, \qquad U~:=~\begin{pmatrix}u_{11} & u_{12}\\u_{21} & u_{22}\end{pmatrix}.$$

Поскольку преобразование Боголюбова должно сохранять канонические коммутационные соотношения (CCR), легко проверить, что матрица преобразования$U$должен принадлежать группе Ли

$$\tag{4} U(1,1) ~:=~\{U\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}) \mid U^{\dagger}\eta U~=~\eta \},$$

где

$$\tag{5} \eta ~:=~\begin{pmatrix}1& 0\\0 & -1\end{pmatrix}$$ это $1+1$размерная метрика Минковского. Группа «Ложь» $U(1,1)$преобразований Боголюбова вещественна и некомпактна, и она $4$-размерный. В самом деле, можно доказать, что элемент $U\in U(1,1)$имеет форму

$$\tag{6} U~=~\begin{pmatrix}u & v\\wv^* & wu^*\end{pmatrix},$$

где

$$\tag{7}u,v,w~\in~\mathbb{C},\quad |u|^2-|v|^2~=~1 \quad\text{and}\quad |w|~=~1.$$

Тогда гамильтониан принимает вид

$$\tag{8} H ~=~ \begin{pmatrix}b_1^{\dagger} & b_2\end{pmatrix} N\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2^{\dagger}\end{pmatrix},$$

где

$$\tag{9} N~:=~U^{\dagger}MU~=~N^{\dagger}.$$

Теорема I. Имеются следующие два инварианта относительно преобразований Боголюбова:

$$\tag{10} \det(N) ~=~\det(M)~=~A^2-|B|^2.$$

$$\tag{11} {\rm tr}(\eta N) ~=~{\rm tr}(\eta M)~=~0.$$

Доказательство уравнения (11): Используйте это$\eta N= U^{-1}\eta MU$и$\eta M$связаны преобразованием подобия.$\Box$

Следствие 1а:

Новый$2\times 2$матрица$N$имеет форму

$$\tag{12} N~:=\begin{pmatrix}A^{\prime} & B^{\prime}\\B^{\prime *} & A^{\prime} \end{pmatrix}~=~N^{\dagger}, \qquad A^{\prime}~\in~ \mathbb{R},\qquad B^{\prime}~\in~ \mathbb{C}.$$

Оказывается, утверждение ОП в постановке вопроса о диагонализуемости верно, ср. Следствие Ib.

Следствие 1б:

(i) Новый$2\times 2$матрица$N$может быть диагональным, только если$|A|>|B|$или$B=0$.

ii) новый$2\times 2$матрица$N$может быть недиагональным, только если$|A|<|B|$или$A=0$.

(iii) Если$|A|=|B|\neq 0$, то новый$2\times 2$матрица$N$не является ни диагональным, ни внедиагональным.

Доказательство (i): диагональная матрица$N$должен удовлетворить

$$\tag{13} 0~\leq~ A^{\prime 2} ~=~ \det(N) ~=~\det(M)~=~A^2-|B|^2.$$

Следовательно$|A|>|B|$или$|A|=|B|$. В последнем случае,$A^{\prime}=0$, так$N=0$, и поэтому$M=0$, и в частности$B=0$.$\Box$

Доказательства (ii) и (iii) оставляем в качестве упражнений.

3) Далее мы будем утверждать, что случай$A<|B|$не имеет физического значения, см. Теорема II.

Теорема II:

(i) Гамильтониан$H$положительно определен, если$A >|B|$.

(ii) Спектр$H$неотрицательно, если$A\geq |B|$.

(iii) Спектр$H$неограничен снизу, если$A < |B|$.

Доказательство теоремы II оставляем в качестве упражнения. Доказательство на классическом уровне можно установить, заменив операторы$a_1$и$a_2$с соответствующими классическими комплексными переменными, а затем исследовать сигнатуру гессиана для соответствующей классической функции Гамильтона.

4) Наконец, преобразование Боголюбова (3) можно перевести на специальный релятивистский язык. Можно просмотреть матрицу$M$или эквивалентно$(A,B)$, как точка в$1+2$размерное пространство Минковского с временной координатой$A\in \mathbb{R}$и космические координаты$B\in \mathbb{C}\cong \mathbb{R}^2$. Инвариантная длина Минковского

$$\tag{14} \det(M)~=~A^2-|B|^2$$

сохраняется под действием

$$\tag{15} \rho:U~\mapsto~ (U^{-1})^{\dagger}MU^{-1}$$

группы Ли$U(1,1)$преобразований Боголюбова. Поэтому$\rho$является гомоморфизмом групп Ли

$$\tag{16} \rho: \quad\to\quad O(1,2;\mathbb{R})$$

в$3$-мерная группа Лоренца$O(1,2;\mathbb{R})$. Состояние$|A| >|B|$($|A| < |B|$) является условием времениподобности (пространственноподобности) вектора соответственно. Интуитивно наблюдение ОП относительно диагонализируемости можно понять как тот факт, что нельзя превратить пространственно-подобный вектор во времяподобный вектор с помощью преобразования Лоренца.