Как записать гамильтониан Фрелиха в одном измерении?

В настоящее время я работаю над проблемой (функционального) анализа, уточняя анзац Пекара (или адиабатическое приближение, как это называется в его прекрасной рукописи 1961 года «Исследования по электронной теории кристаллов»).

В любом случае, у меня есть два связанных вопроса, которые члены этого сообщества могут найти простыми.

Гамильтониан Фрелиха в трех измерениях задается следующим образом:

ЧАС "=" п 2 + ∑ к а к † а к − ( 4 π α В ) 1 2 ∑ к [ а к | к | е я к ⋅ Икс + а к † | к | е − я к ⋅ Икс ]

Физический сценарий здесь — электрон, движущийся в трехмерном кристалле. Каждый к означает (колебательную) моду кристалла.

Если мы ограничимся только одномерным кристаллом, то почему гамильтониан можно записать следующим образом:

ЧАС "=" п 2 + ∑ к а к † а к − ( 4 π α В ) 1 2 ∑ к [ а к е я к ⋅ Икс + а к † е − я к ⋅ Икс ]

А именно, почему мы опускаем | к | фактор в третьем члене?

Кроме того, я вижу, как операторы рождения и уничтожения работают в (бозонном) фоковском пространстве (имеется в виду здесь кристалл), особенно когда мы записываем оператор рождения в виде ∑ к "=" 0 ∞ ( а † ) к к ! | 0 ⟩ "=" | к ⟩ . А именно, оператор создания перескакивает из одного тензорного состояния в пространстве Фока в другое. Однако я также вижу форму а к "=" 1 2 ( к + д д к ) . Как связаны две формы? Как вы интуитивно думаете о последней форме? Например, я думал о первой форме как об операторе создания, перескакивающем из одного состояния в fock-пространстве в другое, но во второй форме я не совсем уверен.

Это хороший вопрос, но я думаю, что его лучше задать двумя отдельными частями. Как правило, вы должны иметь возможность написать свой вопрос в заголовке, и (может быть, это только я, но) я не думаю, что ваши два вопроса достаточно тесно связаны, чтобы сделать это кратко. Я бы предложил удалить второй вопрос из этого поста и опубликовать его отдельно.
Можете ли вы дать точную ссылку, в которой говорится, что вы можете отказаться от |k|? Возможно, вы неправильно поняли нетривиальную манипуляцию, которая может быть очевидна в контексте.
Кроме того, уравнение, которое у вас есть для | к ⟩ смысла нет --- бесплатного нет к указатель слева...
@genneth: «k» в формуле — это число занятий справа, но суммируется слева. Я собирался исправить это как «n», но это указывает на концептуальную путаницу. rg: Каждый режим k должен иметь отдельный целочисленный номер занятия n, и формула, которую вы написали для действия оператора создания, относится только к одному номеру занятия.

Ответы (1)

Ответ на ваш второй вопрос прост. Для гармонического осциллятора операторы создания и уничтожения связаны с операторами x и p соотношением (до выбора единиц измерения):

а "=" Икс + я п
а † "=" Икс − я п

Запись оператора x как я ∂ ∂ п воспроизводит вашу формулу (с точностью до фаз и знаков, приведенные выше фазы и знаки верны в обычных физических соглашениях), где p играет роль k. k в вашей формуле следует интерпретировать как оператор k.

Это проблема полярона, которая интенсивно изучалась в середине 1950-х годов, после того как Фролих на основе изотопического эффекта сделал вывод, что взаимодействие фононов с электронами должно быть ответственно за сверхпроводимость. Осцилляторы - это фононные моды, 1 над |k| говорит вам, что длинноволновые фононы сингулярны, но я не знаю ответа на первый вопрос, потому что идентичность на первый взгляд невозможна, потому что одна из двух форм будет несогласованной по размерам. Если вы предоставите ссылку на исправление соглашений, можно решить, какое из них правильное, и, возможно, это простое недоразумение. Например, фононы в вашем описании имеют точно такую ​​же частоту, что неверно --- дисперсия для фононов должна составлять второй член ∑ к | к | а † а $.

Пользователь wsc сообщил мне, что гамильтониан Фролиха используется для моделирования взаимодействия с оптическими фононами. У них плоская дисперсия, поэтому фононная часть в порядке, как вы написали.

Это также очень распространено в квантовой оптике, где дисперсия x и y соответствует флуктуациям интенсивности и фазы соответственно.
По большей части это нормально, но гамильтонианы Фрелиха обычно описывают взаимодействие с оптическими фононами, так что плоская дисперсия верна.
@wsc: Извините, я неправильно прочитал ваш комментарий. Я обновлю ответ соответственно.
Как записать гамильтониан Фрелиха в одном измерении?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v