Потери на трение в вертикальном потоке трубы

Question

Потери на трение в вертикальном потоке трубы

Гартал

Я сделал эту задачу для большего понимания давления и потери давления в вертикальном потоке.

Рассмотрим следующую стационарную систему, в которой жидкость входит в резервуар и выходит через вертикальную трубу длиной $L$ и диаметр $D=2R$ . Высота жидкости в баке постоянна и равна $H$ . Плотность и вязкость жидкости $\rho$ и $\mu$ , соответственно. Если течение ламинарное найти $Q$ .

Теперь, если я напишу уравнение Бернулли для свободной поверхности резервуара и точки выхода из трубы, то я получу

\frac{п_{а т м}}{γ} + \frac{в_{0}^{2}}{2 г} + г_{0} "=" \frac{п_{а т м}}{γ} + \frac{в^{2}}{2 г} + г + {час}_{л},

$\frac{P_{atm}}{\gamma}+\frac{v_0^2}{2g}+z_0=\frac{P_{atm}}{\gamma}+\frac{v^2}{2g}+z+h_l,$ где

h_{L}

$h_L$ - потеря на трение выходной трубы и

v = Q / (π R^{2})

$v=Q/(\pi R^2)$ и

γ = ρ g

$\gamma= \rho g$ . Мы знаем это

v_{0} \approx 0

$v_0 \approx 0$ , таким образом

ЧАС + л "=" \frac{в^{2}}{2 г} + {час}_{л}

$H+L=\frac{v^2}{2g}+h_L$ Теперь нам нужно найти другое соотношение между

v

$v$ и

h_{L}

$h_L$ . Можем ли мы использовать уравнение Дарси-Вейсбаха? Я думаю, что мы не можем из-за вертикального потока! Мне интересно написать баланс импульса и вывести соотношение между потерями на трение и скоростью (например, уравнение Хагена-Пуазейля), но я не знаю, как обращаться с условиями давления! Распределяется ли давление по выходной трубе?

Edit1: Баланс импульса для ламинарного потока в трубе дает скорость как

в_{г} (р) "=" \frac{р^{2}}{4 мю} (- \frac{д п}{д г} + р г) (1 - \frac{р^{2}}{р^{2}})

$v_z(r)=\frac{R^2}{4 \mu}\left(-\frac{dp}{dz}+ \rho g \right) \left(1-\frac{r^2}{R^2} \right)$ И интегрирование по поперечному сечению трубы для расхода дает

Вопрос "=" π р^{2} в "=" \int_{0}^{р} 2 π р в_{г} (р) д р "=" \frac{π р^{4}}{8 мю} (- \frac{д п}{д г} + р г)

$Q=\pi r^2 v=\int_{0}^{R} 2 \pi r v_z(r) \ dr=\frac{\pi R^4}{8 \mu} \left(-\frac{dp}{dz}+ \rho g \right)$ И наконец

- \frac{д п}{д г} + р г "=" \frac{32 мю в}{Д^{2}}

$-\frac{dp}{dz}+ \rho g=\frac{32 \mu v}{D^2}$ Теперь, что из следующего является правильным и почему?

1) $h_L=L(-dp/dz)/ \gamma=\frac{32 \mu v L}{\gamma D^2}-L$

2) $h_L=L(-dp/dz+ \rho g)/ \gamma=\frac{32 \mu v L}{\gamma D^2}$

у меня нет чувства $p$ здесь! Можете ли вы дать физическое ощущение давления в выходящей трубе?

Edit2: ответы и обсуждения в этом вопросе могут решить следующие похожие вопросы:

Q1 , Q2 , Q3 .

пользователь73762

Ваша проблема будет решена путем явного расчета потери давления из-за трения (которую вы выражаете как «напор потери на трение»

h_{l}

$h_l$ ). Это зависит от того, достаточно ли быстр ваш поток, чтобы быть турбулентным, или остается ламинарным (и, следовательно, от его числа Рейнольдса в трубе). Ламинарный (медленный или вязкий) поток достаточно прост, чтобы, если вас надавить, вы могли бы получить решение путем интегрирования, используя вязкость жидкости; результатом будет сила, пропорциональная скорости. Для турбулентных течений имеются только феноменологические приближения; сила становится квадратичной по скорости.

Гартал

@pyramids Я хочу вывести формулы для ламинарного потока, если это возможно.

Чет Миллер

В вашем дифференциальном уравнении вы измеряете z вниз . Итак, при z = L давление атмосферное. Если вы проинтегрируете свое дифференциальное уравнение с учетом этого граничного условия, вы получите

п (г) "=" п_{а т м} - р г (л - г) + \frac{32 мю в}{Д^{2}} (л - г)

$p(z)=p_{atm}-\rho g(L-z)+\frac{32\mu v}{D^2}(L-z)$ Вес жидкости вызывает увеличение давления с увеличением z, а вязкое сопротивление вызывает уменьшение давления с увеличением z.

Гартал

О, это имеет смысл :) Я очень ценю время, которое вы потратили на ответ на мой вопрос.

Чет Миллер

В Q1 и Q2 для невязкой жидкости, если давление на обоих концах равно атмосферному, жидкость не сможет поддерживать контакт со стенками трубки. Поперечное сечение жидкости будет уменьшаться по мере движения жидкости вниз, а ее скорость будет увеличиваться. В противном случае, если он способен поддерживать контакт, то в вертикальной трубе будет выполняться уравнение гидростатики, а давление на входе будет меньше атмосферного.

Герт

@ChesterMiller: вы видели этот вопрос? физика.stackexchange.com/questions/371138/ … . Кажется, вы решали что-то подобное с учетом ускорений. Лучшие рег.

Ответы (3)

Потери на трение в вертикальном потоке трубы

Ваша проблема будет решена путем явного расчета потери давления из-за трения (которую вы выражаете как «напор потери на трение» $h_l$ ). Это зависит от того, достаточно ли быстр ваш поток, чтобы быть турбулентным, или остается ламинарным (и, следовательно, от его числа Рейнольдса в трубе). Ламинарный (медленный или вязкий) поток достаточно прост, чтобы, если вас надавить, вы могли бы получить решение путем интегрирования, используя вязкость жидкости; результатом будет сила, пропорциональная скорости. Для турбулентных течений имеются только феноменологические приближения; сила становится квадратичной по скорости.
@pyramids Я хочу вывести формулы для ламинарного потока, если это возможно.
В вашем дифференциальном уравнении вы измеряете z вниз . Итак, при z = L давление атмосферное. Если вы проинтегрируете свое дифференциальное уравнение с учетом этого граничного условия, вы получите $п (г) "=" п_{а т м} - р г (л - г) + \frac{32 мю в}{Д^{2}} (л - г)$ $p(z)=p_{atm}-\rho g(L-z)+\frac{32\mu v}{D^2}(L-z)$ Вес жидкости вызывает увеличение давления с увеличением z, а вязкое сопротивление вызывает уменьшение давления с увеличением z.
О, это имеет смысл :) Я очень ценю время, которое вы потратили на ответ на мой вопрос.
В Q1 и Q2 для невязкой жидкости, если давление на обоих концах равно атмосферному, жидкость не сможет поддерживать контакт со стенками трубки. Поперечное сечение жидкости будет уменьшаться по мере движения жидкости вниз, а ее скорость будет увеличиваться. В противном случае, если он способен поддерживать контакт, то в вертикальной трубе будет выполняться уравнение гидростатики, а давление на входе будет меньше атмосферного.
@ChesterMiller: вы видели этот вопрос? физика.stackexchange.com/questions/371138/ … . Кажется, вы решали что-то подобное с учетом ускорений. Лучшие рег.

Чет Миллер · Answer 1

Вы можете использовать уравнение Дарси-Вейсбаха, но вам придется немного изменить его для вертикального потока. В вертикальном потоке дифференциальный баланс сил на потоке дает:

(п (г + Δ г) - п (г)) \frac{π Д^{2}}{4} + р г \frac{π Д^{2}}{4} Δ г "=" т_{ш} Δ г π Д

$(P(z+\Delta z)-P(z))\frac{\pi D^2}{4}+\rho g \frac{\pi D^2}{4}\Delta z=\tau_w\Delta z \pi D$ где z — высота над дном трубы, а

τ_{w}

$\tau_w$ напряжение сдвига на стенке. Так,

\frac{д (п + р г г)}{д г} "=" \frac{4}{Д} т_{ш}

$\frac{d(P+\rho gz)}{dz}=\frac{4}{D}\tau_w$ Для ламинарного течения,

т_{ш} "=" \frac{ф}{4} \frac{р в^{2}}{2}

$\tau_w=\frac{f}{4}\frac{\rho v^2}{2}$ где f — коэффициент трения Дарси-Вейсбаха. Итак, объединив два уравнения, вы получите:

\frac{д (п + р г г)}{д г} "=" \frac{ф}{Д} \frac{р в^{2}}{2}

$\frac{d(P+\rho gz)}{dz}=\frac{f}{D}\frac{\rho v^2}{2}$ Для горизонтальной трубы у вас будет только:

\frac{д п}{д г} "=" \frac{ф}{Д} \frac{р в^{2}}{2}

$\frac{dP}{dz}=\frac{f}{D}\frac{\rho v^2}{2}$ Итак, для вертикального потока вы просто заменяете P в уравнении горизонтального потока на

P + ρ g z

$P+\rho gz$ .

Спасибо, сэр. Пожалуйста, взгляните на мое новое редактирование вопроса.

пользователь73762 · Answer 2

Это не полный ответ, а просто набросок того, как вывести формулу для профиля скорости и, следовательно, потери давления в поперечном сечении трубы. Я смоделирую трубу бесконечно длинной и горизонтальной, чтобы упростить задачу — результат все еще должен быть применим, но его необходимо использовать с надлежащим давлением воды из-за силы тяжести в случае вертикальной трубы.

Вязкая сила параметризуется вязкостью жидкости. $\eta$ . Выражается как давление, перпендикулярное градиенту скорости в $x$ -направление, это $\frac{\partial p}{\partial y} = \eta \frac{\partial v}{\partial x}$ где $v$ — локальная скорость (по существу, $\dot{y}$ ). Это выражение необходимо преобразовать в цилиндрические координаты (для цилиндрической трубы). Вместе с обычными соотношениями (и, возможно, с условием непрерывности) это должно позволить получить профиль потока $v(r)$ , который является параболическим; решение приведено, например, в Гиперфизике .

Наличие профиля потока $v(r)$ позволяет рассчитать силы вязкости и получить полное падение давления (на единицу длины трубы) путем интегрирования по сечению трубы. Это был бы (частичный) ответ, который я намеревался набросать.

На самом деле моя главная проблема заключается в разнице между горизонтальными и вертикальными потоками. В горизонтальном потоке трубы у вас есть приложенное давление (например, с помощью насоса) и у вас есть распределение давления вдоль трубы. Но в моем случае какое будет давление? Можем ли мы рассчитать давление в произвольной точке на выходе из трубы?
Из-за непрерывности и симметрии ваш профиль потока одинаков в любом месте по вертикали. Следовательно, потеря давления на единицу длины везде одинакова, за исключением того, что в вашем случае с вертикальной трубой вам нужно добавить эффект силы тяжести (который, я думаю, вы уже отдельно учитывали). Так что на самом деле не имеет значения, что ваша труба вертикальная, если только она не настолько длинная, что где-то давление падает до нуля и образуются пустоты, нарушающие непрерывность.

Глубокий · Answer 3

Вода течет по трубе под действием постоянного градиента давления, равного $\rho g$ . Таким образом, вы можете применить уравнение DW при условии, что поток является ламинарным.

Ответ на редактирование вопроса:

На письме $-\frac{dp}{dz}+\rho g$ вы выделили вклад гравитации в градиент давления, действующий на жидкость. Поэтому $-\frac{dp}{dz}$ это любой градиент давления, применяемый другими средствами, кроме силы тяжести (например, с помощью насоса), который в вашем случае равен нулю.

Это значит, что $v=\gamma D^2 /32 \mu$ , что делает скорость независимой от $L$ .
Вы предположили полностью развитый поток, поэтому $v$ зависит только от радиального расстояния, а не от осевого расстояния.
Тогда потери на трение в трубе не влияют на скорость на выходе. Также это дает $h_l=L$ и сводит уравнение Бернулли к $v^2=2gH$ , но я думал, что эта задача должна отличаться от закона Торричелли.

Потери на трение в вертикальном потоке трубы

Гартал

пользователь73762

Гартал

Чет Миллер

Гартал

Чет Миллер

Герт

Ответы (3)

Чет Миллер

Гартал

пользователь73762

Гартал

пользователь73762

Глубокий

Гартал

Глубокий

Гартал

Рассчитать расход воды через отверстие

Как остановить поток воды в сифоне?

Давление вблизи затопленного отверстия?

Есть ли противоречие между уравнением неразрывности и законом Пуазейля?

Динамическое давление воды от расхода и диаметра

Давление вокруг сопла шприца

Справедливо ли уравнение неразрывности даже против гравитации?

Каково будет повышение давления при свободном падении воды из резервуара с высоты 20 м в частично заполненную трубу?

Различие между статическим и динамическим давлением в жидкостях [закрыто]

Поток жидкости через отверстие