В чем физический смысл коммутации двух операторов?

Я понимаю математику коммутационных и антикоммутационных соотношений, но что физически означает для наблюдаемого (самосопряженного оператора) коммутирование с другим наблюдаемым (самосопряженным оператором) в квантовой механике?

например оператор А с гамильтонианом ЧАС ?

Когда вы говорите, что разбираетесь в математике, понимаете ли вы также связь с теорией представлений и симметриями?
Это означает, что коммутатор равен нулю, т.е. AH = HA
Вы спрашиваете о физических последствиях и следствиях (а не о математическом определении, которое вы уже знаете), когда два оператора коммутируют?
На самом деле, если два оператора коммутируют, есть четкая физическая интерпретация - они оба являются элементами полного набора коммутирующих наблюдаемых - т.е. вы можете производить измерения в системе обоих наблюдаемых в любом порядке, а также одновременно - например л - полный угловой момент и л г в г составная часть. Если два оператора не коммутируют, любое измерение одного из них с определенной точностью приведет к неопределенности ожидаемого значения второго оператора, например положения и импульса.
@Qмеханик да.

Ответы (7)

Давайте сначала переформулируем математическое утверждение о том, что два оператора А ^ а также Б ^ ездить друг с другом. Это означает, что

А ^ Б ^ − Б ^ А ^ знак равно 0 ,
который вы можете переставить на
А ^ Б ^ знак равно Б ^ А ^ .

Если вы вспомните, что операторы воздействуют на квантово-механические состояния и дают вам взамен новое состояние, то это означает, что с А ^ а также Б ^ коммутируя, состояние, которое вы получаете, позволяя сначала А ^ а потом Б ^ воздействовать на некоторое начальное состояние так же , как если бы вы позволили сначала Б ^ а потом А ^ воздействовать на это состояние:

А ^ Б ^ | ψ ⟩ знак равно Б ^ А ^ | ψ ⟩ .

Это не тривиальное утверждение. Многие операции, такие как вращение вокруг разных осей, не коммутируют, и, следовательно, конечный результат зависит от того, как вы упорядочили операции.

Итак, каковы важные последствия? Вспомните, что когда вы выполняете квантово-механическое измерение, вы всегда будете измерять собственное значение вашего оператора, и после измерения ваше состояние останется в соответствующем собственном состоянии. Собственными состояниями оператора являются именно те состояния, для которых нет неопределенности в измерении: вы всегда будете измерять собственное значение с вероятностью 1 . Примером являются энергетические собственные состояния. Если вы находитесь в состоянии | н ⟩ с собственной энергией Е н , ты знаешь что ЧАС | н ⟩ знак равно Е н | н ⟩ и ты всегда будешь измерять эту энергию Е н .

А что, если мы хотим измерить две разные наблюдаемые, А ^ а также Б ^ ? Если мы сначала измерим А ^ , мы знаем, что система остается в собственном состоянии А ^ . Это может изменить результат измерения Б ^ , так что вообще важен порядок ваших измерений. Не так с коммутирующими переменными! В каждом учебнике показано, что если А ^ а также Б ^ коммутировать, то вы можете придумать набор базовых состояний | а н б н ⟩ которые являются собственными состояниями обоих А ^ а также Б ^ . Если это так, то любое состояние можно записать в виде линейной комбинации вида

| Ψ ⟩ знак равно ∑ н α н | а н б н ⟩
куда | а н б н ⟩ имеет А ^ -собственное значение а н а также Б ^ -собственное значение б н . Теперь, если вы измерите А ^ , вы получите результат а н с вероятностью | α н | 2 (при условии отсутствия вырождения; если собственные значения вырождены, аргумент по-прежнему остается верным, но становится немного громоздким для записи). Что, если мы измерим Б ^ первый? Затем получаем результат б н с вероятностью | α н | 2 и система остается в соответствующем собственном состоянии | а н б н ⟩ . Если мы теперь измерим А ^ , мы всегда получим результат а н . Общая вероятность получения результата а н , следовательно, снова | α н | 2 . Так что не имело значения, что мы измеряем Б ^ ранее это не изменило результат измерения для А ^ . 

РЕДАКТИРОВАТЬ Теперь позвольте мне расширить еще немного. До сих пор мы говорили о некоторых операторах А ^ а также Б ^ . Теперь мы спрашиваем: что это значит, когда некоторые наблюдаемые А ^ коммутирует с гамильтонианом ЧАС ? Во-первых, мы получаем весь результат сверху: существует одновременная собственная база собственных состояний энергии и собственных состояний А ^ . Это может значительно упростить задачу диагонализации. ЧАС . Например, гамильтониан атома водорода коммутирует с л ^ , оператор углового момента, и с л ^ г , это г -составная часть. Это говорит вам, что вы можете классифицировать собственные состояния по угловому и магнитному квантовому числу. л а также м , и вы можете диагонально ЧАС для каждого набора л а также м независимо. Есть еще примеры этого.

Другим следствием является зависимость от времени. Если ваш наблюдаемый А ^ не имеет явной временной зависимости, введенной в его определение, то если А ^ коммутирует с ЧАС ^ , ты сразу узнаешь, что А ^ есть постоянная движения. Это связано с теоремой Эренфеста .

г г т ⟨ А ^ ⟩ знак равно − я ℏ ⟨ [ А ^ , ЧАС ^ ] ⟩ + ⟨ ∂ А ^ ∂ т ⟩ ⏟ знак равно 0 по предположению

«Порядок ваших измерений вообще важен». Я не уверен, как это может быть. В теории относительности порядок измерений может вообще зависеть от системы отсчета.
@user7348 user7348 Нет, если измерения причинно связаны.
Когда два оператора коммутируют свои наблюдаемые, говорят, что они совместимы. Насколько мне известно, совместимые наблюдаемые не подчиняются соотношениям неопределенностей. Это эквивалентно утверждению, что они (в некотором роде) независимы (возможно, связаны через другие неравенства или другие своего рода граничные условия).

Ответ на этот вопрос должен начаться с того, почему мы хотим, чтобы физические наблюдаемые были представлены линейными операторами.

Теоретическая физика занимается построением математической модели, которая, как мы надеемся, описывает явления, для которых она моделируется, и, следовательно, помогает предсказывать вещи. В классической физике эта математическая модель основана просто на действительных числах (по крайней мере, локально) из-за хорошего поведения вещей. В квантовой механике это не так. Эксперименты начали давать дискретные значения, а также непрерывные значения (такие как энергия электронов и т. д.). Таким образом, существует потребность в некотором классе математических объектов, которые придают одинаковое значение непрерывным и дискретным случаям.

Мы знаем , что линейные операторы обладают тем свойством, что они обладают как дискретными, так и непрерывными спектрами , которые могут выступать в качестве требуемого класса математических объектов. Следовательно, мы начинаем идентифицировать физические наблюдаемые с соответствующими линейными операторами.

Постулат 1. Для каждой динамической переменной существует линейный оператор, возможные значения которого являются собственными значениями оператора.

Нам нужно какое-то место, где происходит вся физика и где действуют эти операторы, чтобы дать нам требуемые результаты. Итак, мы строим гильбертово пространство, состоящее из состояний системы, которую мы наблюдаем.

В квантовой механике важную роль играет процесс измерения. Он изменит состояние системы, которую он должен измерять. Если мы будем проводить два эксперимента один за другим, то есть вероятность, что часть информации изменится.

Коммутатор двух наблюдаемых А а также Б с операторами А ^ а также Б ^ определяется как,

[ А ^ , Б ^ ] знак равно А ^ Б ^ − Б ^ А ^

Коммутатор — это математическая конструкция, которая говорит нам, коммутируют два оператора или нет. Предполагать А соответствует динамической наблюдаемой А а также Б соответствует динамической наблюдаемой Б . Тогда продукт А Б соответствует измерению наблюдаемого А после измерения Б . Если процесс измерения собирается изменить (нарушить) результат следующего эксперимента таким образом, что измерение А после измерения Б дает разные значения в качестве измерения Б после измерения А тогда мы говорим, что они не коммутируют. Следовательно, это означает, что коммутатор не равен нулю.

А ^ Б ^ | Ψ ⟩ ≠ Б ^ А ^ | Ψ ⟩
Это записывается в терминах коммутатора как,
[ А ^ , Б ^ ] знак равно А ^ Б ^ − Б ^ А ^ ≠ 0

В противном случае это ноль. Это означает, что две наблюдаемые могут быть измерены одновременно. Таким образом, коммутатор говорит нам, можем ли мы одновременно измерить две физические наблюдаемые (которые называются совместимыми наблюдаемыми) или нет.

Если мы знаем значение коммутатора, то это говорит о том, как измерения изменят ситуацию. Это дает больше информации, такой как неопределенность.

Использовать $ между кодами.

Физически это означает, что не имеет значения, в каком временном порядке вы измеряете две коммутирующие наблюдаемые.

Это означает, что вы можете (в принципе) одновременно измерять обе величины с произвольной точностью. Если бы они не коммутировали, то это было бы невозможно по принципу неопределенности.

«Точность» зависит от состояния. Существуют состояния КМ, в которых коммутирующие переменные все еще неопределенны.

Вы можете рассматривать коммутативность различных переменных как физическую независимость, что-то вроде разделенных независимых переменных:

∂ ∂ Икс ∂ ∂ у знак равно ∂ ∂ у ∂ ∂ Икс .

Коммутирующие операторы — это любые два оператора, которые можно применять к функции в любом порядке без изменения результата.

Это математическое объяснение, которое практически не имеет физического смысла , которого хотел исходный постер.

Когда два оператора qm не коммутируют, это означает, что мы что-то упустили в Природе. То есть квантовая механика является теорией измерения, но не теории Природы из-за некоммутативности. Следовательно, это означает, что вещи, которые мы пропускаем, не могут быть описаны квантовой механикой, и это приводит к заключению, что qm не является полным описанием Природы.

В чем физический смысл коммутации двух операторов?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v