Что такое внутренняя кривизна?

Это сложно концептуально. Я согласен. В настоящее время у нас нет доказательств того, что наша четырехмерная вселенная встроена в какое-то пространство более высокого измерения.

Для сферы, встроенной в трехмерное пространство, вы можете использовать внутреннюю или внешнюю геометрию. Оба дадут вам одинаковые измерения.

Но в нашей вселенной нет многомерного вложенного пространства, на которое мы могли бы ссылаться. Итак, мы застряли во внутренней геометрии. Я думаю об этом так: на самом деле нет причин, по которым должно быть истинным, например, то, что сумма внутренних углов треугольника равна$180^o$или что скалярное произведение базисных векторов равно нулю. Любой из этих геометрических элементов, являющихся постулатами евклидовой геометрии, не является неотъемлемой истиной Вселенной. Это просто то, что мы видим в нашем повседневном опыте. То есть они в некотором смысле обнаружены эмпирически.

Так как же обнаружить внутреннюю геометрию эмпирически? Вы измеряете углы, измеряете скалярные произведения и видите, каковы значения. Если эти значения соответствуют тому, что вы получили бы с плоским пространством, вы находитесь в плоском пространстве. Если это то, что вы получили бы в искривленном пространстве, значит, вы находитесь в искривленном пространстве. Вы можете считать это определением искривленного пространства. Вам не нужно представлять, как пространство изгибается в какое-то другое пространство. Просто в нашем пространстве мы измеряем скалярные произведения базисных векторов так, чтобы они имели какое-то ненулевое значение.

В ответ на ваше редактирование:

В частности и по определению, что означает, что пространство по своей сути искривлено - как говорят все эти ответы - - это то, что когда вы проводите геометрические измерения, они не получаются так, как предсказывает евклидова геометрия.

Мы называем это «кривизной», потому что она работает точно так же, как кривизна. Измеренные углы и расстояния точно такие, какими они были бы, если бы пространство было искривлено. Мы не предполагаем пространство для встраивания, потому что нам это не нужно, чтобы получить правильные ответы. Так зачем же добавлять в теорию что-то, что нельзя наблюдать?

Внутренняя и внешняя кривизна связаны тем, что обе они дают одни и те же предсказания. Просто то, как вы делаете математику, немного отличается. Если вы не существуете в пространстве вложений, вы не можете использовать инструменты внешней кривизны для проведения измерений. У вас нет другого выбора, кроме как измерять вещи внутренне.

Если вы не можете наблюдать вложенное пространство, то нет, вы не можете сделать вывод, что вы существуете, встроенное в более высокое пространство. Это предположение, которое невозможно проверить.

Внешняя кривизна относится к встраиванию пространства в большее количество измерений. Внутренняя кривизна относится к геометрическим теоремам, которые могут быть доказаны в пространстве без ссылки на что-либо снаружи. Например, углы треугольника могут не складываться$180^\circ$. Два определения кривизны различны. Сфера имеет как внутреннюю, так и внешнюю кривизну, но цилиндр можно сделать, свернув плоский лист бумаги без искажения геометрических форм, таких как треугольники; он внешне изогнут и внутренне плоский.

Пространство-время (и пространство) имеет внутреннюю кривизну, но не внешнюю кривизну, потому что нет внешнего пространства, из которого можно было бы на него смотреть. Это означает, что карты больших регионов невозможно рисовать без искажения карты. Самый простой способ убедиться в том, что это правда, — это признать ежедневный факт, что часы на спутниках GPS не идут в ногу с идентичными часами на Земле. Поскольку законы физики на спутниках такие же, как и на Земле, скорость света одинакова, и, следовательно, должна быть очевидная разница в длине метра, если смотреть с Земли. В результате длина окружности орбиты спутника не равна$2\pi R$как это было бы в плоской геометрии.

Я узнал, что сфера имеет внутреннюю кривизну, то есть 2d-существо на 2d-сфере все еще может узнать, что сфера искривлена. Но я не понимаю, что это значит.

Способ, которым вы определяете кривизну сферы, используя только измерения на двумерной поверхности сферы, заключается в обнаружении вещей, которые нарушают правила нормальной плоской евклидовой геометрии. Например:

В плоском пространстве сумма внутренних углов треугольника равна$180^{\circ}$. Но на сфере можно нарисовать треугольник, который начинается на экваторе, идет строго на север к Северному полюсу, поворачивает$90^{\circ}$идет строго на юг к экватору, поворачивает$90^{\circ}$, и идет прямо на запад к начальной точке. Этот треугольник имеет$270^{\circ}$внутренние углы.

Точно так же на экваторе две близлежащие линии, указывающие строго на север, параллельны. Но по мере того, как вы следуете по каждой линии строго на север, расстояние уменьшается, угол меняется, и линии в конце концов пересекаются.

Ни один из этих примеров невозможен для плоского пространства, поэтому даже двумерное пространство, ограниченное сферой, может определить, что пространство не было плоским, без необходимости или получения каких-либо доказательств за или против плоского пространства более высокого измерения.

Поскольку наше пространство-время искривлено, оно заключено более чем в 4 измерениях?

Мы просто не знаем ответа на этот вопрос. У нас нет ни доказательств, подтверждающих эту идею, ни каких-либо доказательств, чтобы ее исключить. Есть он или нет, он кажется ненужным для описания физики.

Наше пространство-время искривлено.

Очень важно понимать разницу между внешней и внутренней кривизной.

Внешняя кривизна — это когда вы можете перейти в более высокое измерение и увидеть, что мир более низкого измерения искривлен. Вы можете видеть много этих двухмерных резиновых листов, изогнутых. Теперь представьте, что вы можете двигаться наружу (увидеть это из-за пределов 2D), вы в основном двигаетесь в более высокое (в данном случае 3-е) измерение, чтобы увидеть, что 2D-плоскость искривлена. Это внешняя кривизна. Внешняя кривизна простирается в более высокое (пространственное) измерение.

Внутренняя кривизна другая, вы не можете перейти в более высокое измерение, чтобы увидеть, что ваш мир искривлен. Чтобы убедиться в этом, представьте тот же резиновый лист. Теперь у нас есть сетки на нем. Вместо того, чтобы изгибать сам резиновый лист, теперь изгибайте сетки на листе, не изгибая сам лист. Ничего особенного, верно? Но вы смотрите на это со стороны. Но когда вы находитесь на листе, живя как флатландец, вы все еще думаете, что все сетки прямые. Всякий раз, когда вы двигаетесь по сеткам, как флатландец, вы думаете, что двигаетесь прямо. У вас нет возможности узнать, что вы движетесь не прямо. нет более высокого измерения, чтобы увидеть его. Это противоречит здравому смыслу. Это внутренняя кривизна.

Этот тип искривления — это то, что происходит в общей теории относительности. Это внутреннее, а не внешнее. Итак, возвращаясь к вашему вопросу, вы не можете двигаться за вселенную, потому что позади нет места, куда можно двигаться. Есть только три пространственных и одно временное измерение — просто они внутренне искривлены.

Вселенная плоская и почему мы не можем видеть или получить доступ к пространству «за» плоскостью нашей вселенной?

Теперь наша Вселенная внутренне искривлена, потому что, когда вы движетесь в искривленном пространстве-времени (геодезическом), вы движетесь по прямой линии. Эта внутренняя кривизна встроена в наше пространство-время. Мы не можем перейти в более высокое пространственное измерение, чтобы увидеть эту кривизну. Единственный способ узнать о внутренней кривизне — это такие эксперименты, как замедление времени ОТО и гравитационное линзирование.