Почему кажется, что спутники движутся быстрее над головой и медленнее ближе к горизонту?

Вот геометрическая конструкция, подтверждающая ответ @uhoh. Начните со спутника на орбите вокруг Земли (радиус$R$) на высоте$h$.

Внутренний круг — это поверхность, внешний — орбита. Каждый синий клин сметается спутником за одинаковое время. Каждый золотой клин показывает, как далеко вы, наблюдатель на поверхности, видите, как он перемещается за это же время. Немного раздул:

Спутник на горизонте имеет гораздо более узкий клин, чем надземный. Это означает, что он движется медленнее. Это происходит по двум причинам: это дальше, и путь не перпендикулярен вашему взгляду.

Мы можем сделать это более точным, назвав (синий) центральный угол, заметаемый в единицу времени$\Delta \theta$и (золото) наблюдаемый угол$\Delta \phi$.

Затем наверху:

$\Delta \phi_\rm{overhead} = \frac{(R+h) \Delta \theta}{h}$

На горизонте надо учитывать как расстояние до орбиты, которое назовем$D$, а относительный угол$\theta$:

$\Delta \phi_\rm{horizon} = \frac{(R+h) \Delta \theta \sin{\theta}}{D}$

Это может быстро усложниться, но учтите, что$\sin{\theta}$является$D / (R+h)$. Тогда это упрощает многое:

$\Delta \phi_\rm{horizon} = \frac{(R+h) \Delta \theta D / (R+h)}{D} = \Delta \theta$

$\frac{\Delta \phi_\rm{overhead}}{\Delta \phi_\rm{horizon}} = \frac{R+h}{h}$

Таким образом, спутник над головой, без учета таких вещей, как оптические иллюзии или атмосферная рефракция, кажется, становится фактором$(R+h)/h$быстрее, чем тот, что на горизонте. Для спутника на расстоянии 600 км это коэффициент 11; даже больше, если это более низкая орбита.

Они движутся в основном ко мне или от меня под почти нулевым углом падения (даже на высоте 20 тысяч километров или 30 тысяч миль)?

В основном этому я верю. Но ваша дистанция отключена. Увидеть высотные спутники невооруженным глазом очень сложно . Большинство из них, которые вы можете увидеть, находятся на низкой околоземной орбите на высоте от 400 до 1000 км.

Вкратце: глядя на спутники на высоте от 300 до 1000 км, которые проходят над головой, они определенно движутся быстрее всего, когда над головой и медленнее вниз. В зените они двигаются со скоростью 1,4 и 0,4 градуса в секунду соответственно и падают в 10 или более раз по мере приближения к горизонту.

Интересно, что самое быстрое движущееся существо быстрее всего замедляется, но это только потому, что оно быстрее всех приближается к горизонту.

---

ОК, я не могу не оставить ответ «я тоже».

Единственное уравнение, которое я знаю, это vis-viva

$$v^2(r) = GM_E\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)$$

где стандартный гравитационный параметр $GM_E$или же$\mu$для Земли составляет около 3,986E+14 м^3/с^2 ​​(одно из немногих известных мне чисел) и$a$является большой полуосью.

Для круговой орбиты$r=a$и становится просто:

$$v^2 = GM_E\ / a,$$

а скорость это просто длина окружности деленная на период$T$:

$$v = 2 \pi a / T.$$

Возведите его в квадрат и приравняйте к предыдущему, и вы получите:

$$T = 2 \pi \sqrt{a^3 / GM_E},$$

и если вы определяете угловую скорость вращения как$\omega = 2 \pi / T$, это становится

$$\omega = \sqrt{GM_E/a^3}$$

Если я сяду на Землю в$\mathbf{r_{me}} = R \mathbf{\hat{x}}$и смотреть спутник на высоте$h$так что его орбитальный радиус$R+h$, его положение будет

$$\mathbf{r_{sat}} = (R+h) \left( \mathbf{\hat{x}} \cos(\omega t) + \mathbf{\hat{y}} \sin(\omega t) \right)$$

а угол между спутником и зенитом, если предположить, что он проходит через зенит, будет просто

$$\theta = \arctan\left( \frac{y_{me}-y_{sat}}{x_{me}-x_{sat}} \right).$$

Я переключусь на Python, если он просто делает графики:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

halfpi, pi, twopi = [f*np.pi for f in (0.5, 1, 2)]
degs, rads = 180/pi, pi/180

GMe   = 3.986E+14  # m^3/s^2
R     = 6378. * 1000.   # approx radius of Earth in meters

altitudes  = 1000. * np.arange(300, 1001, 100)  # meters

t  = np.arange(600.)  # 0 to 10 minutes, in seconds

thetas = []
for h in altitudes:

    a = R + h
    omega = np.sqrt(GMe/a**3)
    r_sat = (R + h) * np.array([np.cos(omega*t), np.sin(omega*t)])
    r_me  = R * np.array([1, 0])[:, None] * np.ones_like(t)
    theta = np.arctan2(r_sat[1]-r_me[1], r_sat[0]-r_me[0])
    theta[theta > halfpi] = np.nan
    thetas.append(theta)

if True:
    fs = 16
    plt.figure()

    plt.subplot(3, 1, 1)
    for theta in thetas:
        plt.plot(t/60., degs*theta)

    plt.xlabel('minutes', fontsize=fs)
    plt.ylabel('degs from zenith', fontsize=fs)
    plt.text(0.3, 70, '300km')
    plt.text(5.2, 70, '1000km')

    plt.subplot(3, 1, 2)
    for theta in thetas:
        plt.plot(t[1:]/60., degs*(theta[1:] - theta[:-1]))

    plt.xlabel('minutes', fontsize=fs)
    plt.ylabel('degs/sec', fontsize=fs)
    plt.text(0.3, 1.3, '300km')
    plt.text(0.3, 0.2, '1000km')

    plt.subplot(3, 1, 3)
    for theta in thetas:
        plt.plot(degs*theta[1:], degs*(theta[1:] - theta[:-1]))

    plt.xlabel('degs from zenith', fontsize=fs)
    plt.ylabel('degs/sec', fontsize=fs)
    plt.text(30, 1.3,  '300km')
    plt.text(20, 0.16, '1000km')

    plt.show()

Спутники, которые вы видите движущимися, обычно находятся на высоте от 200 до 500 км. Более медленное движение, которое вы ощущаете на горизонте, частично связано с иллюзией луны, описанной fred_dot_u, а частично — с ракурсом.

Спутники связи на высоте 35000 км являются геосинхронными; они не двигаются заметно относительно земного наблюдателя.

Я хотел бы увидеть какие-либо соответствующие уравнения, подтверждающие это, но я подозреваю, что ответ больше относится к восприятию, чем к математике.

Недавно я просмотрел видео на YouTube , в котором показано, что интерпретация размера и экстраполяции движения и скорости зависит от других объектов в поле зрения.

Связанное видео относится к Сиднейскому оперному театру, сначала записано прямо из окна, без предметов, находящихся рядом со зрителем/камерой. Знаменитое здание кажется «нормальным» по размеру, так как нет реальной ссылки, кроме соседних зданий, дорог и т. д.

Когда оператор камеры отходит от окна, появляется рамка окна. Это дает зрителю новую ссылку, которая оказывается ближе к оперному театру, чем другие ссылки. Очевидно, что оперный театр не меняет размер в реальном мире, но в кадре камеры он кажется намного больше.

Я испытал это явление как на малых высотах, так и на больших высотах. Вблизи горизонта луна кажется большой, потому что в качестве ориентира есть деревья и здания, но субъективно над моей головой луна представляет собой меньший круг.

Я предполагаю, что это явление относится к движущимся орбитальным объектам. Я наблюдал за Международной космической станцией, когда она была видна в моем районе, и отметил, как описано в вопросе. Движение кажется медленным в первой части появления, затем оно набирает скорость и несется по небу, замедляясь ближе к концу по мере приближения к противоположному горизонту.

Как только моя голова наклоняется назад настолько, что я теряю вид на горизонт, перпендикулярный направлению движения МКС, ориентир теряется.

Для эксперимента с одним спутником вырежьте прямоугольник из жесткого материала. Используйте рамку и секундомер для определения времени перехода от одной точки на рамке к другой, когда она находится вблизи нижней части перехода, затем выполните тот же тест, когда спутник находится вблизи зенита.

Вы правы, это и А, и В, и угол падения, и расстояние.

Давайте начнем с описания того, что произошло бы, если бы вы действительно видели, как он движется под углом, перпендикулярным линии вашего взгляда.

Объект прямо над вами (90 градусов от горизонта) находится на расстоянии от вас, равном его высоте (скажем, 500 км).

Но когда тот же объект находится у горизонта, скажем просто для аргумента, что он находится на 10 градусов выше горизонта, тогда его расстояние от вас больше примерно в шесть раз - примерно 1/sin (угол над горизонтом).

Это всего лишь приближение, которое не принимает во внимание кривизну орбиты или кривизну горизонта, но оно должно быть достаточно хорошим приближением, чтобы проиллюстрировать, почему кажется, что он движется медленнее, когда он менее приподнят в небе. Это кажется таким, потому что это далеко.

В дополнение к этому, вращающиеся объекты над головой, безусловно, будут двигаться под углом падения, близким к квадрату поперек линии вашего взгляда, а объекты вблизи горизонта вполне могут двигаться в направлении, которое представляет собой очень острый угол падения, потенциально приближающийся к нулю.