Как определить период слежения за землей спутника LEO?

Интересный вопрос!

Абстрагированный/упрощенный случай:

Предположим, что космический корабль вращается вокруг планеты без атмосферы, с идеальным сферически-симметричным распределением массы, так что гравитационное поле может быть выражено как точка в начале координат с использованием теоремы Ньютона о Шелле , и нет никаких других сил или тел в вселенная.

Повторение наземного следа произойдет только тогда, когда отношение периодов вращения планеты и космического корабля будет рациональным числом , т.е. отношением двух целых чисел.

Тогда период повторяющейся наземной траектории будет короче двух периодов, умноженных на большее из двух целых чисел, или наоборот. Простой способ подумать об этом — просто представить момент, когда спутник пересекает экватор или проходит x = 0 (при условии, что z — это ось вращения планеты). Вы должны быть немного осторожны со своим воображением, если это чисто полярная орбита, но та же самая математика работает.

Например, скажем, планета вращается каждые 1440 минут, а спутник обращается вокруг нее в пространстве с периодом 115,2 минуты.

Найдите целые числа$m, n$такой, что

$m \times 1440 - n \times 115.2 = 0$

Решение было бы$m, \ n = 2, \ 25$, и поэтому период будет два дня, или$2 \times 1444$или$25 \times 115.2$минут.

Если нет точного решения для двух целых чисел, то нет и точного повторения наземной траектории!

Реальный мир:

Гравитационное поле Земли неоднородно, поэтому в природе не существует круговых или чисто кеплеровских эллиптических орбит. На НОО присутствуют гравитационные эффекты Луны и Солнца и эффекты сопротивления атмосферы.

Так что « никогда » — это короткий ответ.

Вот GIF-анимация, которую я когда-то сделал из гипотетического наземного следа спутника, похожего на МКС, например. Я использовал математику из подраздела «Технические детали» статьи Википедии Sun-synchronous_orbit , включая прецессию узлов из-за сжатия Земли. Это простой расчет и не включает много эффектов

Я рассчитал на 15 00 000 секунд (около 17 дней).

Хотя есть определенные высоты, которые создают кажущееся повторяющееся движение земли в течение короткого времени, это всего лишь иллюзия.

См. также этот ответ на вопрос Сколько времени требуется МКС, чтобы облететь все возможные точки мира за один раз? чтобы больше думать.

ниже: GIF в низком разрешении фрагмента простой анимации, которую я когда-то сделал для наземного следа в течение ~ 17 дней по круговой орбите на разной высоте, включая прецессию узлов из-за J2.

Ради интереса, вот как это сделать на Python. Skyfield представил .subpoint()метод в версии 1.3 (сейчас он в версии 1.4), так что получить наземный трек спутников очень просто!

Вот наземный трек МКС за первые семь дней июня 2018 года:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from skyfield.api import Loader, Topos, EarthSatellite

# https://www.celestrak.com/NORAD/elements/stations.txt
TLE = """1 25544U 98067A   18157.92534723  .00001336  00000-0  27412-4 0  9990
2 25544  51.6425  69.8674 0003675 158.7495 276.7873 15.54142131116921"""

L1, L2 = TLE.splitlines()

load = Loader('~/Documents/fishing/SkyData')  # avoids multiple copies of large files
ts   = load.timescale()

data    = load('de421.bsp')
earth   = data['earth']
ts      = load.timescale()

minutes = np.arange(60. * 24 * 7)         # seven days
time    = ts.utc(2018, 6, 1, 0, minutes)  # start June 1, 2018

ISS     = EarthSatellite(L1, L2)

subpoint = ISS.at(time).subpoint()

lon      = subpoint.longitude.degrees
lat      = subpoint.latitude.degrees
breaks   = np.where(np.abs(lon[1:]-lon[:-1]) > 30)  #don't plot wrap-around

lon, lat    = lon[:-1], lat[:-1]
lon[breaks] = np.nan
plt.figure()
plt.plot(lon, lat)
plt.show()