Количество спутников, необходимое для глобального четырехкратного охвата, в зависимости от высоты?

Возможно, вы ищете отношения в форме (или задаетесь вопросом, существуют ли такие отношения):

Nmin(A_cap,n) = μ(n) * (A_Earth/A_cap)

A_cap: область мгновенного покрытия одного спутника, постоянная во времени (круговые орбиты), моделируемая в виде сферической шапки.

Nmin: наименьшее количество спутников в практической группировке, которое может обеспечить непрерывное n-кратное покрытие.

μ(n): подгоночная константа, независимая от A_cap, функция от n.

К счастью, такие приблизительные соотношения существуют, и µ(4)~7,2, тогда как µ(1)~2.

Однако я не знаю никакого математического вывода µ(n) даже для µ(1). В основном μ(n) получают путем тестирования различных созвездий, построенных с использованием эвристических рассуждений, таких как так называемые созвездия Уокера ( Wiki ).

• Случай n=1

Начнем с n=1, чтобы ознакомиться с некоторыми опубликованными результатами.

В 2008 году Юрий Улыбышев написал хороший обзор « Конструкция спутников для непрерывного покрытия: краткий исторический обзор».

Рисунок 1, воспроизведенный здесь для удобства, дает график для n = 1 и возвышения = 10 ° (которое он назвал α).

Как вы сами отметили, если вы называете Phi углом полуконуса с центром на Земле сферической крышки, представляющей индивидуальное покрытие, то A_cap=2 π RE2 (1-cos(Phi)) Так что (A_Earth/A_cap) = 2 /(1-cos(Phi))

Я утверждаю здесь, что точная нижняя граница для N, показанная на рис. 1 Улыбышева, следует тенденции соотношения:

   Nmin= 4/(1-cos(Phi))

Другими словами, µ(1) ~ 2.

Вот контрольная точка, чтобы мы были на одной странице с подробным расчетом:

H=1000 км (и El=10°) => Phi =21,6° => 2/(1-cos(Phi))= 28,4 => Nmin=56,8

Этот результат (μ(1) ~ 2) был получен независимо друг от друга компанией Beste in Design спутниковой группировки для оптимального непрерывного покрытия . Это платный доступ, но доступен рисунок 3 (воспроизведенный здесь, ψ — угол полуконуса, который мы назвали Phi).

• Случай n=4,

Возьмите GPS. Поскольку мы знаем H (20200 км), мы можем вычислить их Phi (66,3°), предполагая, что их проектная высота составляет 10° (разумное предположение для спутниковой навигации). Мы также знаем, что GPS требует 24 спутника. Исходя из этого, мы можем сделать обоснованное предположение, что μ(4) ~ 7,2, если предположить, что разработчики GPS действительно оптимизировали свою группировку для минимального количества спутников.

Некоторые заметки о вашем подходе, который я считаю хорошим в качестве приближения первого порядка.

Делая это, я считаю, что переоцениваю количество спутников

Я бы скорее сказал, что она должна быть занижена .

1. Круги не идеально мозаичные. Например, для достижения однократного покрытия должно быть некоторое перекрытие, требующее$\frac{2\pi}{3\sqrt{3}} \approx 1.21$раз больше площади круга.

Для покрытий более высокого порядка эффективность покрытия будет асимптотически приближаться$1$, но для 4-кратного покрытия неясно, что вы можете сделать лучше, чем просто наслоить четыре 1-кратных покрытия (и даже если существует какое-то более умное решение, оно будет лишь незначительно лучше). Так что на 20% больше спутников только из-за статической геометрии задача кажется разумной.

2. Спутники не статичны. Даже если вы найдете геометрическое решение, которое покрывает всю планету в 4 раза, оно, скорее всего, мгновенно сломается, если принять во внимание их требуемое относительное движение. Схема покрытия должна меняться в зависимости от времени, и вам, вероятно, потребуются дополнительные спутники, чтобы гарантировать, что 4-кратное покрытие сохраняется все время, а не только в определенный момент.

Для чего-то, что явно завышено, но будет работать, вы можете разместить спутники в плоскостях долготы, достаточно плотно, чтобы обеспечить 4-кратное покрытие.

Некоторое жонглирование начальными числами дает мне максимум эффективности, когда плоскости находятся на расстоянии 1,55 радиуса покрытия одного спутника друг от друга, а спутники в плоскости разнесены на 0,36 радиуса.

Это должно дать доказуемую верхнюю границу, но неэффективно, поскольку дает ненужное покрытие вблизи полюсов.