Теорема Нётер для более интересных преобразований временной координаты

Согласно Википедии, теорема Нётер (для механики точечной частицы) гласит, что если следующее преобразование является симметрией лагранжиана

$$t \to t + \epsilon T$$

$$q \to q + \epsilon Q$$

Тогда сохраняется следующая величина

$$\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{q} - L \right) T - \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} Q$$

На данный момент мы почти всегда рассматриваем либо$T=1$или$T=0$--- мы могли бы рассмотреть некоторое интересное преобразование пространственной координаты, такое как$\vec{Q} = \vec{n} \times \vec{q}$для пространственных вращений, но мы редко рассматриваем какое-нибудь интересное преобразование времени.

Предположим, что наш лагранжиан имеет вид

$$L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2$$

т.е. простой кинетический лагранжиан. Тогда мы не можем сделать преобразование

$$t \to t' = t + \epsilon t = (1+\epsilon)t$$

$$q \to q' = q + \epsilon q = (1+\epsilon)q$$

то есть$T=t$и$Q=q$. Это простейший пример преобразования времени, который я мог придумать, но не тривиальный.$T=1$или$T=0$. Тогда я бы сказал, что наш лагранжиан инвариантен относительно этого преобразования, поскольку

$$\frac{d q'}{d t'} = \frac{d q'}{d q}\frac{d q}{d t}\frac{d t}{d t'} = (1+\epsilon) \frac{dq}{dt}(1+\epsilon)^{-1} = \frac{dq}{dt}$$

и так в новых координатах у нас тот же лагранжиан. Затем из выражения вверху этого поста количество

$$\left(\frac{1}{2}m\dot{q}^2\right)t - (m\dot{q})q$$

следует сохранить. Однако мы можем тривиально показать, что это не так.

Где моя ошибка?