У меня проблема с выводом сохранения энергии из инвариантности перевода во времени. Инвариантность лагранжиана относительно бесконечно малых сдвигов времени можно записать как
Повторяя ответ pppqqq, ваша ошибка находится в самом начале, где вы установили . Лагранжиан не является константой движения, поэтому это уравнение ошибочно.
Вместо этого вы хотите
который предполагает .
Когда вы применяете уравнение Эйлера-Лагранжа, вы получаете
что всего в нескольких шагах от алгебры, чтобы показать, что гамильтониан сохраняется.
Ваш первоначальный вывод просто показывает, что если лагранжиан не зависит от времени, а также является константой движения, то также постоянная движения.
I) Во-первых, отметим, что теорема Нётер (в ее первоначальном виде) касается симметрии действия , не обязательно лагранжиан . Подходящим понятием для лагранжиана является квазисимметрия, ср . этот ответ Phys.SE.
II) Во-вторых, мы делаем предположение, что
Мы хотели бы использовать теорему Нётер, чтобы доказать, что функция энергии
затем сохраняется в оболочке
III) Из первого уравнения ОП видно, что он рассматривает бесконечно малый перевод чистого времени.
(Слова горизонтальный и вертикальный относятся к переводу в направление и направления соответственно). Также обратите внимание, что мы изменили знак перед для последующего удобства. Трансляция чистого времени (A), вообще говоря , не является симметрией лагранжиана
Полное объяснение того, почему чисто горизонтальное преобразование (А) — (С) нельзя использовать для доказательства сохранения энергии, дано в разделе VI ниже. Но сначала мы покажем два других преобразования, которые действительно работают, в следующих разделах IV и V.
IV) Если мы изменим время (A), значения а также в общем тоже изменится. Другими словами, мы должны ввести компенсирующую вертикальную вариацию (В'), чтобы полная вариация (С') обобщенных позиций была равна нулю:
Преобразование (А') — (С') является симметрией лагранжиана:
где мы в последнем равенстве использовали, что лагранжиан не имеет явной зависимости от времени.
Используя стандартную формулу, упомянутую в Википедии , (голый) ток Нётер (умноженный на ) становится энергией (умноженной на )
как мы хотели показать.
V) В качестве альтернативы, как это сделано в Примере 1 в Википедии , мы можем рассмотреть чисто вертикальное инфинитезимальное преобразование
Преобразование (А'') — (С'') есть квазисимметрия лагранжиана:
где мы в последнем равенстве использовали, что лагранжиан не имеет явной зависимости от времени.
(Голый) ток Нётер (умноженный на ) становится
Ток Нётер необходимо скорректировать из-за появления полной производной по времени в уравнении. (Д''). Полный ток Нётер становится функцией энергии
как мы хотели показать.
VI) Наконец, вернемся к чисто горизонтальному преобразованию ОП (А)-(С). Хотя это и не симметрия, это все же квазисимметрия лагранжиана , ср. экв. (Д). (Голый) ток Нётер (умноженный на ) становится
Ток Нётер необходимо скорректировать из-за появления полной производной по времени в уравнении. (Д). Полный ток Нётер становится равным нулю:
Иными словами, соответствующий закон сохранения — тривиальность! Это потому, что мы никогда не использовали в уравнении. (D) нетривиальный факт (1) того, что лагранжиан не имеет явной зависимости от времени.
--
Энергетическая функция в лагранжевом формализме соответствует гамильтониану в гамильтоновом формализме .
Вот правильный способ понять это (не то, чтобы я предвзято или что-то в этом роде). Позвольте мне начать с того, что я согласен с другими, которые указывают, что в данном случае, но я хотел бы убедительно продемонстрировать, почему. Надеюсь, то, как я представлю резолюцию, будет понятно. Я буду математически точен, но не буду беспокоиться о некоторых технических допущениях, таких как степени дифференцируемости задействованных функций.
Общие положения.
Чтобы мы могли быть абсолютно уверены в отсутствии путаницы, позвольте мне повторить некоторые обозначения и определения.
Пусть путь в пространстве конфигурации. Позволять быть однопараметрической деформацией с . Определим вариацию _ и его производная относительно этой деформации следующим образом:
Лагранжева механика — правило коммутативности
Теперь предположим, что лагранжиан это локально в а также задан, то для данного пути определим его вариацию относительно деформации следующим образом:
Для каждой симметрии лагранжиана величина
сохраняется для всех удовлетворяющие уравнениям Эйлера-Лагранжа.
Симметрия перевода времени.
Рассмотрим деформацию
Если , то перенос времени есть симметрия где функция просто дается самим лагранжианом.
Тогда теорема Нётер говорит нам, что существует сохраняющийся заряд;
Я думаю, проблема в первой строке: инвариантность для конечного смещения времени
Я не уверен в том, что означает термин «бесконечно малый сдвиг во времени». Если является однопараметрическим преобразованием конфигурационного пространства, то условие
Я попытаюсь ответить на вопрос «как мы можем увидеть, как энергия естественным образом возникает из симметрии переноса времени» в единственном смысле, который я могу понять, а именно: «можно ли рассматривать энергию как нётеровский заряд?». Предупреждение: доказательство беспорядочно.
Вспомним определение нётеровского заряда, связанного с 1-параметрической группой симметрий. :
Как бы то ни было, теорема сформулирована для автономного лагранжиана, то есть не зависящего от времени лагранжиана. Чтобы увидеть, как энергия естественным образом возникает в виде нётеровского заряда, в книге Арнольда указан один из подходов, который заключается в следующем.
Если это конфигурационное пространство и является ложным (т.е. неавтономным) лагранжианом, определим обобщенное конфигурационное пространство как . Определить лагранжиан на :
Таким образом, мы можем применить теорему Нётер к . Обратите внимание, что , так допускает перевод времени, если делает. Наконец, заряд Нётер, связанный с переводом времени, таков:
Итак, из ваших комментариев я понимаю, что вы уже знаете, как вывести теорему Нётер(?), что означает, что ток Нётер:
Теперь обратите внимание, что гамильтониан определяется как:
Теперь рассмотрим лагранжиан, не зависящий явно от времени, т.е. . Далее рассмотрим временной перевод:
Но, к сожалению, это не гамильтониан. Это вычисление должно дать
Но я не могу найти причину, почему и как дополнительные должно появиться. Я вижу, что этот термин можно написать на том месте, где он написан, потому что у нас есть и поэтомуИ тогда искомое уравнение будет говорить только . Любая идея, где я сделал ошибку, будет высоко оценена.
Вы не ошиблись. Возьмите окончательное уравнение:
Используйте определение импульса:
И найти:
Ваш должно быть написано как , так что у тебя есть:
Отмените эпсилон с обеих сторон:
Переместите термин LHS в RHS:
Это говорит о том, что сохраняется. То есть гамильтониан/энергия сохраняется, что вы и пытались доказать.
Джек
Охотник
Джек
Qмеханик