Как Кирхгоф выразил свой закон напряжения (KVL)

Закон напряжения Кирхгофа появляется в его статье 1845 года «Ueber den Durchgang eines electric stromes etc».

2. Wenn die Draete$1,2,...\nu$eine geschlossene Figur bilden, $$I_1\omega_1 + I_2\omega_2+ ... +I_{\nu}\omega_{\nu}$$ = der Summe alle elektromotorischen Kraefte die sich auf Wege:

Что я перевожу как:

2. когда провода$1,2,...n$образуют замкнутую фигуру, $$I_1R_1 + I_2R_2 + ... I_nR_n$$ = сумма всех электродвижущих сил, находящихся на пути:

---

Редактировать:

В исходном вопросе говорится, что

Иногда утверждают, что закон Кирхгофа о напряжении (KVL) эквивалентен утверждению, что данное электрическое поле является консервативным.

Средний Ваштар в пространном ответе защищает именно это утверждение об эквивалентности. СВ утверждает.

в современных обозначениях исходная форма KVL также может быть записана как:

$$\oint_{\Gamma}\vec{E}\cdot d\ell = 0$$

С.В. поддерживает свою позицию, цитируя такие тексты, как второй том «Физика Беркли: электричество и магнетизм, 3-е издание» Перселла и Морина, и Рамо Уинни Ван Дузер, «Поля и волны для коммуникационной электроники», 3-е издание, с. 179. Существует множество других текстов, которые С.В. мог бы также процитировать.

Все стороны согласны с тем, что эта переработанная версия закона Кирхгофа о напряжении физически неточна в присутствии изменяющегося во времени магнитного поля. Но я полагаю, что текст формулировки Кирхгофа дает понять, что современная версия - это переделка , а не просто первоначальная формулировка КВЛ Кирхгофа.

Таким образом, нам надлежит проверить, соответствует ли эта переделка оригиналу или же она вносит какие-то нововведения, которые нельзя должным образом приписать оригиналу. В частности, нам нужно изучить, каким образом мы можем переформулировать термины$I_CR_C$и$\mathscr{E}_C$, где последний член представляет собой электродвижущую силу на пути$C$

SV преобразует уравнение Кирхгофа в форму:

(R1 I1 - ЭДС1) + (R2 I2 - ЭДС2) + ... + (Rn In - ЭДС) = 0

что вполне оправдано. Однако затем он продолжает утверждать, что

В двадцать первом веке мы признаем, что каждый член в скобках представляет собой интеграл по пути полного электрического поля вдоль каждого из сегментов 1, 2,... n, в которых замкнутый путь (контур) был разделен. Поэтому, говоря современным языком, первоначальная формулировка КВЛ гласит

Сумма континуального интеграла Etot.dl по ветвям нашей замкнутой фигуры = 0

Хотя это согласуется с современными текстами, следует задаться вопросом, есть ли какое-либо оправдание для такого преобразования.

Я не возражаю против переделки$I_CR_C$в виде$\int_C\vec{E}\cdot d\ell$срок. Действительно, я думаю, что такая переделка является улучшением по сравнению с Кирхгофом. Он снимает зависимость КВЛ в его исходной формулировке от закона Ома.

Однако переделка$\mathscr{E}$в виде$\int_C\vec{E}\cdot d\ell$термин вызывает возражения.

Закон Гаусса говорит нам, что электрическое поле имеет ненулевую дивергенцию только при наличии чистой ненулевой плотности заряда. Таким образом, разумно рассматривать ЭДС, создаваемую изменяющимся во времени магнитным полем вдоль некоторой кривой, не как полное электрическое поле, а как вращательную или соленоидальную составляющую электрического поля. [См. Разложение Гельмгольца, чтобы понять, что трехмерное векторное поле можно разложить на вращательный / соленоидальный / бездивергентный компонент и безвихревой / консервативный / беззавитковый компонент.] То есть,

$$\mathscr{E}_{induced} = \int_C\vec{E}_{rotational} \cdot d\ell$$

Обратите внимание, что для замкнутых циклов

$$\mathscr{E}_{induced} = \oint_C\vec{E}_{rotational} \cdot d\ell = \oint_C\vec{E}_{total} \cdot d\ell$$

но вышесказанное не относится к открытым путям.

Хотя изменение нижнего индекса кажется незначительным, оно означает различие между законом, который является правильным в целом, и законом, который является правильным только в отсутствие изменяющихся во времени магнитных полей.

[Легко видеть, что если$\mathscr{E}_{induced}$переделывается как$\mathscr{E}_{induced} = \int_C\vec{E}_{rotational} \cdot d\ell$скорее, чем$\mathscr{E}_{induced} = \int_C\vec{E}_{total} \cdot d\ell$тогда результирующий KVL правильный даже при наличии изменяющихся во времени магнитных полей.$\vec{E}_{total} = \vec{E}_{rotational} + \vec{E}_{irrotational}$. Итак, если вычесть$\vec{E}_{total}$от$\vec{E}_{rotational}$остается безвихревое, т. е. консервативное векторное поле, и, следовательно, сумма любого замкнутого контурного интеграла этого последнего поля всегда будет равна 0.]

Есть ли оправдание переделке КВЛ в ломаную форму, когда его можно было перелить в неразломанную форму ? Есть ли доказательства того, что ломаная форма более верна Кирхгофу, чем неразорванная форма?

SV утверждает, что Кирхгоф не основывал свою формулировку KVL на экспериментах, в которых использовалась индукция ЭДС через изменяющееся во времени магнитное поле. Неявное значение, по-видимому, состоит в том, что Кирхгоф, возможно, не знал об этом источнике ЭМП. Возможно, более вопиющим невысказанным следствием является то, что, не зная об этом источнике ЭМП, более верным повторным литьем КВЛ является тот, который нарушен.

У меня нет под рукой доказательств того, что Кирхгоф знал об индукции ЭДС через изменяющееся во времени магнитное поле в 1845 году. Однако Максвелл писал в «Трактате об электричестве и магнетизме», том 2, 1873 г., глава XVIII, стр. 358, раздел 759, что

Первое определение сопротивления провода в электромагнитной мере было сделано Кирхгофом*. Он использовал две катушки...

• 'Bestimmung der Constanten von Welchar die Intensitat inducirter elektrischer Stromme abhungt' Pogg. Анна. lxxvi (апрель 1849 г.)

включая иллюстрацию аппарата Кирхгофа:

Итак, мы знаем, что Кирхгоф не позднее, чем через 4 года после публикации КВЛ не только знал об индукции Фарадея, но и активно использовал ее в своих экспериментах.

Если бы мы предположили, как думает С.В., что Кирхгоф не узнал об индукции Фарадея в Кенигсбергском университете, то это наверняка стало бы для него большой неожиданностью не более чем через 4 года. Если он не учел наведенную ЭДС при формулировании КВЛ, разве не удивительно, что он не пересмотрел и не изменил КВЛ, узнав о его существовании?

Один последний комментарий относительно ответа SV.

Я согласен со Средней Ваштаром в том, что закон напряжения Кирхгофа и закон индукции Фарадея различны. КВЛ ничего не говорит о происхождении ЭДС, в отличие от закона индукции Фарадея. КВЛ выражает связь между ЭДС и резистивными падениями напряжения в любом произвольном контуре в любой произвольной цепи, а фарадеевская - нет. Итак, мы все можем согласиться с тем, что закон напряжения Кирхгофа и закон индукции Фарадея различны. Я не согласен с утверждением SV о том, что закон Фарадея (в его исходной форме) является расширением KVL (в его исходной форме).

Редактировать:

В другом ответе обмена стеками SV называет электрическое поле, индуцированное изменяющимся во времени магнитным полем$E_{ind}$и использует следующую формулу и заголовок:

напряжение = индуцированное напряжение + скалярная разность потенциалов

Отсюда можно с уверенностью заключить, что

$$\mathscr{E}_{ind} = \int_{\gamma_{A\rightarrow B}} \vec{E}_{ind} \cdot d\vec{\ell}$$

(или, возможно, негатив этого).

СВ$\vec{E}_{ind}$такой же, как мой$\vec{E}_{rotational}$, то есть вращательная или соленоидальная составляющая полного электрического поля.

Итак, по праву, SV должен использовать

$$\mathscr{E}_{ind} = \int_{\gamma_{A\rightarrow B}} \vec{E}_{ind} \cdot d\vec{\ell}$$

для ЭДС магнитоиндукции при переливке КВЛ. То есть он должен признать, что его заявление о том, что

В двадцать первом веке мы признаем, что каждый член в скобках представляет собой интеграл по пути полного электрического поля вдоль каждого из сегментов 1, 2,... n, в которых замкнутый путь (контур) был разделен. Поэтому, говоря современным языком, первоначальная формулировка КВЛ гласит [выделено нами]

Сумма континуального интеграла Etot.dl по ветвям нашей замкнутой фигуры = 0

неправильно. В исходной формулировке используется специальный термин «ЭДС», а не «напряжение», и, по собственному мнению С.В., «ЭДС», индуцированная вдоль ветви цепи изменяющимся во времени магнитным полем, не является путевым интегралом Etot.dl. , но интеграл по путям Eind.dl

Мы можем прочитать оригинальную статью, опубликованную Кирхгофом в Annalen der Physik und Chemie 1845, Band LXIV под названием « Ueber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene ins besondere durch eine kreisformige » (« О прохождении электрического тока через плоскость). , в частности, через круглую форму ")

источник: Annalen der Physik und Chemie LXIV 1945 - p. 497

К сожалению, я не смог найти изображения, на которые есть ссылки в документе, но я считаю, что информация в тексте сама по себе может быть использована для вывода следующих двух моментов:

1. Кирхгоф сформулировал свои законы на основе экспериментов, в которых использовались локализованные и неиндуктивные формы электродвижущей силы.
2. Закон Кирхгофа о напряжении в его первоначальной формулировке принципиально отличается от закона Фарадея. В частности, индуктивная ЭДС из-за изменяющегося магнитного потока, связанного петлей, не могла появиться среди «электромоторных махин» вдоль пути («auf dem Wege»), как считал Кирхгоф.

Об источниках электродвижущей силы, рассмотренных Кирхгофом

С самого начала Кирхгоф упоминает о постоянном гальваническом токе, который течет через металлический диск, входя и выходя из него с помощью проводов:

" Leitet man einen Constanten galvanischen Strom durch eine Metallscheibe , so wird sich die Elektricität in die ser auf eine bestimmte Weise vertheilen . Die Art der Vertheilung kann man nach den von Ohm aufgestellten Principien theoretisch ermitteln . , dass der Zu stand der Scheibe ein stationärer geworden sey, in dem Falle durchgeführt, dass die Scheibe eine kreisförmige ist, und dass die Elektricität durch einen Draht in sie hinein, durch einen zweiten aus ihr heraustrete .

Автоматический перевод от известного поставщика услуг был немного приблизительным, поэтому я попросила носителя немецкого языка с научным образованием исправить это. Далее жирным шрифтом выделено мое:

« Если через металлический диск пропустить постоянный гальванический ток , то электричество в указанном диске будет распределяться определенным образом. Тип распределения теоретически можно определить по принципам, установленным Омом . условие, что состояние диска стало стационарным, для случая, когда диск имеет круглую форму, и что электричество входит в него по одному проводу, а выходит по второму » .

Источники электричества, используемые Кирхгофом, упоминаются в нескольких пунктах статьи, например, на странице 509:

« Ich leitete durch die Scheibe der Strom einer Constanter Hydrokette, und beruhrte sie an zwei Punkte mit den Enden zweier Drahte, in deren Schliefsung aufser dem Multiplicator eine schwache, auf Kupfer und Zink gebildete, Thermokette eingeschaltet war» .

Опять же, автоматический перевод был слишком неуверенным, но с помощью того же носителя немецкого языка и после замены «множителя» на «гальванометр» (потому что именно так назывался в то время гальванометр типа Швайггера и Поггендорфа) мы получаем:

« Я пропускал через диск ток постоянного Гидрокетта [батарейки] , и контактировал с ним в двух точках концами двух проводов, в петлю которых был включен слабый Термокетт [термоэлектрический элемент], образованный на меди и цинке , на [гальванометр] » .

Предложение, которое помогает пролить некоторый свет на точную природу электродвижущих сил, используемых в экспериментах. «Гидрокетта» и «термокетта» также были источниками электричества, которые использовал в своих экспериментах Георг Ом, упоминаемый в начале статьи Кирхгофа. Ом экспериментировал с гальваническими элементами и термобатареями в начале двадцатых годов девятнадцатого века; его теория гальванических цепей, опубликованная в 1827 г."), подвергся резкой критике со стороны Георга Поля, что в конечном итоге привело к отставке Ома с его академической должности в 1828 году. В то время источниками электричества были гальванические элементы, химические батареи и термобатареи, подобные стабильному «современному» источнику электричества, который Ом использовал для установления своего закона: термопара, основанная на эффекте Зеебека.

Термопара Зеебека со встроенным примитивным гальванометром в виде намагниченной иглы (источник: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj315/ar315128 )

Собственно говоря, thermokette переводится как термобатарея ( немецкая википедия — английская Википедия ). Для гидрокетты, который в некоторых словарях переводится как «гидроэлемент» или «гидроэлемент», я не смог найти удовлетворительного английского определения, но мне сказали, что «Hydrokette» или «hydroelektrische Kette» — это элемент, сделанный из двух металлических пластин разной толщины. «порядок», погруженный в проводящую жидкость. В «Constante Hydrokette» каждая металлическая пластина погружена в другую проводящую жидкость, причем две жидкости разделены диафрагмой, которая обеспечивает миграцию носителей заряда, но не позволяет жидкостям смешиваться. По сути, это электрохимическая ячейка. Вот изображение из чешской презентации, показывающее гальванометр Ома и сравнивающее Thermokette с Hydrokette в отношении эксперимента Ома (рисунок справа, возможно, не совсем иллюстрирует, я знаю, но совместим с сделанным предположением)

Термокет против Гидрокетта в эксперименте Ома (источник: https://image2.slideserve.com/4698073/hled-n-kvantitativn-ch-vztah-l.jpg )

Ниже показана фотография гальванометра (тогда называвшегося «умножителем»), используемого Омом, с установленной «термокеткой», а также эскиз используемого устройства. Напряжение «снималось» проводами, подключенными к двум медным «чашкам» в основании прибора:

Фактический аппарат, используемый Омом, и графическое изображение во время его использования (источники: слева https://www.oocities.org/bioelectrochemistry/ohm.htm , справа: https://www.youtube.com/watch?v=fk_BpXlfZ8U )

Из того же источника фото слева:

"Этот аппарат использовал Ом. Ток, протекающий через металлический стержень в центральном цилиндре, отклоняет подвешенную над ним намагниченную стрелку. Угол отклонения пропорционален току. Источником электрического потенциала является термопара (открытая Зеебеком в 1821 г.) .Концы термопары нагреваются паром и охлаждаются ледяной водой в небольших контейнерах на штативах».

Не только источники ЭМП, упомянутые Кирхгофом в его статье, локализованы, но он также позаботился о том, чтобы подаваемое электричество было постоянным и стабильным, как объяснялось с самого начала статьи 1845 года (выделено жирным шрифтом):

" Я провел необходимые расчеты при условии, что состояние диска стало стационарным ... "
источник: Annalen der Physik und Chemie LXIV 1845 - p. 497

Использование постоянного источника гальванического тока в стационарных условиях сильно опровергает возможность того, что указанная статья предназначалась для включения изменяющихся во времени источников ЭДС или даже побочных эффектов самоиндукции. Более того, нигде в тексте нет упоминаний об индуктивных электродвижущих силах или индуктивных элементах.

В отличие от этого, когда в более поздней статье (« Ueber die Bewegung der Elektricität in Leittern », 1857 г.) Кирхгоф анализировал схему с самоиндукцией, он очень четко упомянул «закон индукции Вебера». В этой статье 1857 года, переведенной на английский язык П. Грано и AKT Assis для APEIRON Nr. 19 июня 1994 г. (стр. 19-25) Кирхгоф находит местную форму закона Ома как (в современных обозначениях)

где он явно рассматривает полное электрическое поле Etot = - grad phi - dA/dt, как и в j = sigma Etot, а не только консервативную составляющую Ecoul = -grad phi. В предисловии к переводу переводчики отмечают, что « по существу это закон Ома, обобщенный Кирхгофом на трехмерные проводники и учитывающий эффекты самоиндукции » . введен Нейманом в статье, опубликованной в январе 1846 года в первом томе Annalen Der Physik 143 под названием « Allgemeine Gesetze Der Inducirten Elektrischen Ströme » (из этого ответа).

Учитывая все это, кажется правдоподобным, что если бы Кирхгоф использовал индукционные источники ЭДС в своих экспериментах, приведших к его статье 1845 года, такая новая форма (изменяющейся во времени) электродвижущей силы была бы, по крайней мере, упомянута явно, если не обсуждалась подробно. Но это не так. С другой стороны, на с. 510 статьи 1845 г. Кирхгоф снова упоминает « электродвижущую силу термобатареи », а на с. 513, прямо перед изложением двух своих знаменитых законов, он пишет:

" Der Strom einer starken Hydrokette theilte sich in die beiden Arme ACB und ADB... "

Это можно перевести как

« Ток сильной [батареи] разошелся в оба плеча АКБ и АБР… »

Мне кажется, я высказал свое мнение о том, что в своей первоначальной статье 1845 года Кирхгоф упомянул и использовал только локализованные, стационарные и неиндуктивные источники электродвижущей силы. Почему это имеет отношение к заданному здесь вопросу? Поскольку локализованные источники ЭДС, такие как гальванические элементы, гальванические батареи, термопары и термобатареи, создают напряжение, которое можно точно определить на клеммах устройства (два провода) внутри ветви цепи, частью которой они являются. Это не относится к делокализованной ЭДС, возникающей из-за изменяющегося магнитного потока, связанного петлей во всей ее полноте.

О чем говорит первоначальная формулировка КВЛ Кирхгофа о расположении источников ЭМП

Это первоначальная формулировка того, что сегодня известно как KVL (Закон Кирхгофа о напряжении) или Правило петли Кирхгофа, написанное Кирхгофом в его статье 1845 года (стр. 513 связанного Анналена):

Модернизируя обозначения (с использованием R вместо омеги для обозначения сопротивления и n вместо nu для индексов), текст гласит:

2) wenn die Drahte 1, 2, n, eine geschlossene Figur bilden R1 I1 + R2 I2 + ... + Rn In = der Summe aller elektromotorischen krafte, die sich auf dem Wege: 1, 2, n befinden; wo R1, R2, Rn die Widerstande der Drahte, I1 I2,... die Intensitaten der Strome bezeichnen, von denen diese durchflossen werden, alle nach einer Richtung als positiv gerechnet.

Что переводится как (жирный мой)

2) если провода 1, 2, n образуют замкнутую фигуру R1 I1 + R2 I2 + ... + Rn В = = сумма всех электродвижущих сил, находящихся на пути: 1, 2, ...n; где R1, R2, ... Rn — сопротивления проводов, а I1 I2, ... In обозначают силы протекающих по ним токов, все рассчитанные как положительные в одном направлении.

Автоматический перевод с каждым днем ​​становится все лучше и лучше благодаря прогрессу искусственного интеллекта. Вывод Google Translate для исходного немецкого текста не нуждался в какой-либо настройке:

Выражение « расположенные на пути: 1, 2, n » указывает на источники ЭМП, расположенные на самом пути, как если бы Кирхгоф специально трактовал локализованные формы ЭМП. Дальнейшее подтверждение этому приходит из последующей статьи, опубликованной в декабрьском 1847 г. томе 72 «Annalen der Physik und Chemie». Статья, опубликованная под названием « Ueber die Auflösung der Gleichungen, auf welche man bei der Untersuching der linearen Vertheilung Galvanisher Ströme geführt wird », была переведена J.B. О'Тулом и переиздано в IRE Transaction on Circuit Theory (IEEE Trans. CT-5, 4–7, 1958). Здесь Кирхгоф пишет (жирный и курсив мой):

Пусть дана система из n проводов: 1, 2,..., n, соединенных между собой произвольным образом. Если последовательно с каждым из них действует электродвижущая сила , то необходимое число линейных уравнений для токов I1, I2,..., In, протекающих по проводам, находят с помощью... "

Из этого следует , между прочим, что если мы выберем два провода из произвольной системы, то ток, вызванный в одном электродвижущей силой, во втором точно равен току, произведенному во втором равной электродвижущей силой в другом проводе. сначала » .

Тем самым подтверждая, что он говорит об ЭДС, локализованных как элементы ряда, вставленные в каждую ветвь, а не о ЭДС, делокализованной по всему контуру. Разложение ЭДС всего контура на частичные вклады вдоль различных частей контура потребовало бы знания конфигурации наведенного электрического поля в пространстве, занимаемом проводниками (знания, которого в то время не было) или линейного интегрирования производная по времени от вектора магнитного потенциала A вдоль различных криволинейных сегментов. Опять же, хотя можно было бы утверждать, что знание математической сущности, соответствующей векторному потенциалу А , происходит из статьи Кирхгофа 1857 года, такой подвиг требовал бы, по крайней мере, упоминания, если не полного объяснения.

Наконец, я также нашел по крайней мере один дополнительный источник, подтверждающий, что Кирхгоф сформулировал свои правила, касающиеся локализованных, сосредоточенных форм ЭМП. В своей статье « Объяснение электромагнитной индукции: критический пересмотр. Клиническая ценность истории в физике » (J Roche 1987 Phys. Educ. 22 91) историк науки Дж. Рош пишет:

Г. Кирхгоф (1824-87) в 1849 году показал, что локализованные ЭДС обычно создают вспомогательные электростатические силы посредством поверхностных зарядов, чтобы установить однородный ток в цепи (Кирхгоф, 1879, стр. 49-55, 1514). Поскольку эти дополнительные поля являются консервативными, сумма результирующих разностей потенциалов по всей цепи будет в точности равна сумме частичных разрядов только для локализованных нижележащих ЭДС . В этом суть второго сетевого закона Кирхгофа (Кирхгоф, 1879, стр. 15-15). 16) "

Таким образом, не только экспериментальная установка, использованная Кирхгофом, но и то, как он сформулировал свои законы, свидетельствуют о том, что правая часть исходного уравнения Кирхгофа КВЛ собирает (с должным знаком) вклад всех сосредоточенных источников ЭДС, присутствующих вдоль путь (" auf dem Wege ").

---

Приложение: О том, что означает локализованный характер источников ЭМП для оригинальной формулировки КВЛ Кирхгофа

Распространенное возражение, выдвигаемое людьми, которые считают, что KVL всегда применяется, даже когда электрическое поле не является консервативным, заключается в том, что закон напряжения Кирхгофа с самого начала предназначался для охвата всех форм электродвижущих сил, включая нелокализованную индуктивную ЭДС, связанную самой петлей. . Причина такого убеждения заключается в том, что в большинстве школьных и вводных университетских учебников КВЛ выражается в форме, применимой к сосредоточенным схемам, где сумма всех видов локализованных ЭДС (в том числе от сосредоточенных трансформаторов и асинхронных генераторов) приравнивается к сумме все падения напряжения (в том числе связанные с сосредоточенными индукторами).

Проблема в том, что индуктивная ЭДС — это особый вид ЭДС, не похожий на другие формы ЭДС. Например, напряжение, измеренное на клеммах катушки индуктивности (такой как многовитковая катушка), отличается от напряжения, вычисленного на проводнике, из которого сделана катушка (что само по себе нарушает КВЛ в петле, образованной катушкой). нить катушки и скачок на ее выводах). Для получения дополнительной информации об этом см. Ramo Whinnery VanDuzer, указанный ниже.

Оригинальный КВЛ с современной терминологией
Перенесемся в двадцать первый век, где мы склонны выражать законы электродинамики в терминах отношений между полями, и мы можем увидеть, как формулировка Кирхгофа для локализованных ЭДС будет выражаться сегодня.

Во-первых, давайте перепишем уравнение Кирхгофа, сделав все ЭДС, находящиеся на путях 1, 2, ... n, явными, назвав их emf1, emf2, ... emfn. Если в одной ветви нет локализованной ЭДС, то соответствующая ЭДС будет равна нулю; то же самое можно сказать и о сопротивлении. В расширенной форме оригинальный KVL Кирхгофа становится:

R1 I1 + R2 I2 + ... + Rn In = ЭДС1 + ЭДС2 + ... + ЭДС

где ЭДС1, ЭДС2,... ЭДС — локализованные электродвижущие силы, расположенные на участках 1, 2, ..., n замкнутого пути.

Теперь мы берем локализованные ЭДС каждой ветви, которые находятся на правой стороне, и переносим их на левую сторону. Изменение знака отражает различие в соглашении о знаках, которое мы используем для генераторов и для пассивных элементов.

(R1 I1 - ЭДС1) + (R2 I2 - ЭДС2) + ... + (Rn In - ЭДС) = 0

Это современная эквивалентная форма KVL, как ее сформулировал Кирхгоф.

В двадцать первом веке мы признаем, что каждый член в скобках представляет собой интеграл по пути полного электрического поля вдоль каждого из сегментов 1, 2,... n, в которых замкнутый путь (контур) был разделен. Поэтому, говоря современным языком, первоначальная формулировка КВЛ гласит

Сумма континуального интеграла Etot.dl по ветвям нашей замкнутой фигуры = 0

Правая часть равна нулю, потому что мы уже учли все « der electromotorischen Krafte, die sich auf dem Wege » — все электродвижущие силы на ветвях 1, 2,... n — и потому, что Кирхгоф не рассматривал никаких делокализованных источников. индуктивной ЭДС. Поскольку континуальным интегралом по замкнутому пути является циркуляция, в современных обозначениях первоначальный вид КВЛ также можно записать так:

циркуляция Etot.dl = 0
Современные обозначения для KVL, сформулированные Кирхгофом (т.е. с использованием только локализованных источников ЭДС)
Примечание: все локализованные ЭДС появляются в интеграле по путям в левой части.

Закон Фарадея вводит ЭДС, которая не находится на пути,
открытом Фарадеем, говоря современным языком, что циркуляция Etot.dl может быть отличной от нуля, если имеется переменный магнитный поток, отсекаемый поверхностью, образованной из замкнутой фигуры 1, 2, . .. n Кирхгоф спорил о. Согласно закону Фарадея (а не закону Кирхгофа), циркуляция полного электрического поля вдоль пути цепи равна минус поток магнитного поля B, пересекаемый поверхностью, ограниченной указанным замкнутым путем:

циркуляция Etot.dl = -d/dt потока B.
Современные обозначения закона Фарадея в интегральной форме, показывающие добавление потока в правой части. Закон Фарадея вводит источник ЭДС, который не вписывается в интеграл по путям (полного) электрического поля слева.

Обратите внимание, что интеграл слева учитывает все локализованные электродвижущие силы (батареи, солнечные элементы, элементы Пельтье, термопары...), присутствующие в ветвях контура, но не нелокализованную индуктивную ЭДС из-за потока, отсекаемого вашим замкнутая цепь, которая является новинкой, введенной Фарадеем. Нам не нужен новый закон для каждого вида неиндуктивной ЭДС: все они учитываются в интеграле циркуляции в левой части. Термин справа, с другой стороны (каламбур), является новым дополнением, которое нарушает первоначальный закон Кирхгофа и значительно расширяет наши знания об электромагнитном поле. В своей локальной дифференциальной форме

curl E = - дБ/dt

Закон Фарадея гласит, что электрическое поле скручивается (т.е. перестает быть безвихревым) в присутствии изменяющегося во времени магнитного поля. Это не «просто другой вид ЭДС»: это фундаментальное свойство электромагнитного поля, изменившее наше понимание электромагнетизма. Не случайно закон Фарадея является одним из четырех знаменитых уравнений Максвелла.

Нарушение правила петли Кирхгофа подтверждается, например, во втором томе Беркли Физика: электричество и магнетизм, 3-е издание Перселла и Морина:

Источник: Purcell, Morin, третье издание, раздел 7.5.

« … Петлевое правило Кирхгофа (которое утверждает, что интеграл по путям E.ds = 0 вокруг замкнутого пути) больше не применимо, когда есть изменяющееся магнитное поле . Фарадей вывел нас за пределы удобного царства консервативных электрических полей. разность напряжений между двумя точками теперь зависит от пути между ними » .

Расширенный KVL и его ограничения :
KVL настолько полезный инструмент, что он был расширен для работы с переменным током и общими динамическими цепями. Тем не менее, даже в «модифицированном», или «обобщенном», или «расширенном» варианте, для соблюдения (и не нарушения других схемных законов, таких как закон Ома в его собственной обобщенной форме) КВЛ требует, чтобы источники индуктивных ЭДС можно разделить на компоненты, которые будут располагаться вдоль цепи. В своей расширенной или обобщенной форме KVL может принимать как вклад сосредоточенных индуктивных ЭДС, так и «падения напряжения» сосредоточенных индуктивностей в интеграле по пути в левой части уравнения.

Для того чтобы расширенный КВЛ работал в шлейфе, необходимо, чтобы напряжения для любых двух точек шлейфа были определены однозначно. Это требует отсутствия изменяющегося потока, связанного с самой петлей, и, в свою очередь, требует, чтобы весь изменяющийся магнитный поток ограничивался внутри магнитных компонентов без заметной утечки в самой петле. Для получения дополнительной информации читатель может обратиться к Рамо, Уиннери, Ван Дузеру, « Поля и волны в коммуникационной электронике », третье издание (глава 4: электромагнетизм цепей, в частности, стр. 174-179). Вот наиболее актуальный отрывок:

Источник: Рамо Уинни Ван Дузер, «Поля и волны для коммуникационной электроники», 3-е издание, с. 179

Расширенный КВЛ работает, когда источники ЭДС можно сгруппировать (и, следовательно, локализовать на конкретной ветви) и скрыть изменяющийся магнитный поток внутри компонента, но мы не можем заставить его работать, когда ЭДС обусловлена ​​изменяющимся потоком, связанным сам контур цепи. Это разрушит КВЛ навсегда, и мы вынуждены учитывать более общий закон: закон Фарадея.

Обратите внимание, что попытка внести вклад делокализованной индуктивной ЭДС, представленный поверхностным интегралом B справа, включение их в интеграл по путям E с левой стороны, чтобы распределить его по ветвям, изменит поле подынтегральной функции, изменив его с полное электрическое поле Etot к консервативной части только Ecoul такого поля. Эта частичная составляющая (полного) электрического поля допускает потенциальную функцию (скалярный электрический потенциал phi), которая подчиняется KVL, но нарушает закон Ома в его локальной форме.