О дефекте массы

Невозможно измерить потенциальную энергию, потому что она имеет (глобальную) калибровочную симметрию. Это как пытаться измерить высоту горы — это может быть высота над уровнем моря, высота относительно самой глубокой морской впадины, высота относительно центра земли и так далее. Любое измерение может измерять только изменение потенциальной энергии, и, конечно, изменение может быть положительным или отрицательным, т.е. потенциальная энергия может увеличиваться или уменьшаться.

Это мой предпочтительный способ понять дефект массы: начать с отдельных частиц объединенной массы.$M$на большом расстоянии. Когда частицы сближаются, они ускоряются из-за силы притяжения между ними, поэтому в момент встречи все частицы обладают высокой кинетической энергией.$T$. Чтобы заставить частицы сформировать связанное состояние, нам нужно удалить эту кинетическую энергию$T$, а это означает вынос массы$m = T/c^2$- отсюда и дефект массы.

Полная кинетическая энергия$T$это просто отрицательное изменение потенциальной энергии$\Delta U$по мере того, как частицы переводятся из бесконечности в связанное состояние. Не имеет значения, какое значение вы присваиваете$U(\infty)$потому что все, что имеет значение, это изменение$\Delta U$.

Ответ на комментарий пользователя 52153:

Предположим, мы начинаем с двух частиц, которые притягиваются друг к другу. Это могут быть электрон и протон или два нуклона, хотя для удобства я предполагаю, что они имеют одинаковую массу.$m_0$. Начните с частиц, стационарных и достаточно далеко друг от друга, чтобы можно было пренебречь любым взаимодействием. Тогда полная энергия равна:

$$E_0 = 2m_0c^2$$

Теперь пусть частицы движутся вместе под их взаимным притяжением. Сила притяжения ускорит их, поэтому через некоторое время у них появится кинетическая энергия$T$. Поскольку мы не вложили и не забрали энергию, общая энергия должна быть неизменной, поэтому должна быть (отрицательная) потенциальная энергия.$U$так что:

$$2m_0c^2 + T + U = 2m_0c^2 = E_0$$

Другими словами$T + U = 0$или$T = -U$, и помните, что$U$является отрицательным числом.

В этот момент дефицита массы нет, поскольку полная энергия не меняется. Теперь пользователь 52153 предлагает использовать какой-то механизм, чтобы вывести кинетическую энергию из системы. Неважно, как именно мы это делаем — мы используем кинетическую энергию для совершения работы.$W$внешней по отношению к нашей системе двух частиц, и мы продолжаем эту работу до тех пор, пока$W = T$так что в этот момент частицы были приведены в состояние покоя. Потому что мы взяли работу$W = T$вне системы полная энергия теперь:

$$E_1 = 2m_0c^2 + U$$

Дефицит массы$\Delta m = (E_0 - E_1)/c^2$так:

$$\Delta_m = \frac{E_0 - E_1}{c^2} = \frac{(2m_0c^2) - (2m_0c^2 + U)}{c^2} = -\frac{U}{c^2}$$

и потому что$U$отрицательное число, что означает$\Delta m$является положительным числом, т.е. общая масса системы уменьшилась.

Табулированные значения ядерных дефектов массы фактически включают произвольное смещение. Обычно стандартом является то, что один моль углерода-12 весит ровно двенадцать граммов, так что голый протон или нейтрон имеет положительный дефект массы, в то время как прочно связанные ядра, такие как железо или никель, имеют отрицательный дефект массы. При вычислении$Q$-значения распадов имеет значение только разница в дефекте массы.

Имейте в виду, что в ядрах существует тонкая разница между дефектом массы и энергией связи . Масса покоя частицы (простой или составной) всегда хорошо определена. Если вы сравните массы составной системы и ее простых составляющих, вы обнаружите, что связанная составная система менее массивна , чем ее составляющие по отдельности: например, атом углерода-12 в своем основном состоянии менее массивен, чем шесть протонов, шесть нейтронов и шести электронов. Эта разница масс и есть энергия связи, ваша$U$, и он не страдает от проблемы произвольного нуля потенциальных энергий, потому что это уже разница между двумя энергиями.

В таблицах массовых дефектов, подобных той, которую я привел выше, «дефект» — это разница между измеренной массой нейтрального атома с$Z+N=A$нуклоны и наивная масса$A$атомные единицы массы. Дефект массы был бы таким же, как энергия связи, если бы нейтрон и протон+электрон оба имели массу покоя в одну а.е.м., но это не так: протон+электрон вместе примерно на 7 МэВ тяжелее 1 а.е.м., а нейтрон примерно на 8 МэВ тяжелее 1 а.е.м. Однако, поскольку ядерные реакции сохраняют барионное число$A$и электрического заряда, вы всегда можете вычислить энергию, доступную в реакции, сравнив дефекты массы начального и конечного состояний. Это на самом деле более надежно, чем сравнение энергий связи , поскольку оно автоматически учитывает разницу в массах покоя нейтрона и протона.

Если вы используете теорию относительности (которая$E = mc^2$подразумевается), мы не можем выбирать потенциал произвольно, потому что соотношение между энергией и массой делает абсолютные значения энергии измеримыми через гравитационные силы, создаваемые накопленной энергией.

РЕДАКТИРОВАТЬ :

Поскольку вы спросили, я объясню это несколько подробнее:

Позволять$V : \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}$— потенциал, равный нулю на пространственной бесконечности, т.е.$\lim_{\vec{x}\rightarrow\infty}V(x) = 0$. Тогда класс потенциалов, эквивалентных (в том смысле, что они производят ту же физику) этому без гравитации, равен$\{V_k(x) | V_k(x) = V(x) + k, c\in \mathbb{R}\}$. При гравитации соотношение энергии и массы$E = mc^2$говорит нам, что реализуется только один из этих потенциалов, так как масса есть измеримая величина. Как нам сказать, какой? Это просто:

Позволять$V_k$– потенциальная энергия, реализованная в природе. Энергия покоящейся частицы на пространственной бесконечности должна быть$E_0 = m_0c^2$, где$m_0$это масса покоя. Его энергия также$lim_{\vec{x}\rightarrow\infty}V_k(x) + m_0c^2 = k + m_0c^2$. Таким образом,$k = 0$. Если я где-то не сделал вопиющей ошибки, это показывает, что потенциальная энергия частицы должна обращаться в нуль на пространственной бесконечности в теориях тяготения.

Если вы задаетесь вопросом, почему частицы, покоящиеся в пространственной бесконечности, должны иметь$E_0$как энергия, это потому, что они неотличимы от свободных частиц, и они исходят из теории, в которой вообще нет потенциала.

Возьмем закон Ньютона для частицы в специальной теории относительности.

$$F^\mu = \frac{d p^\mu}{d \tau} = \frac{d m_0}{d\tau} u^\mu + m_0\frac{du^\mu}{d\tau}$$ где $F^\mu = - \partial^\mu V$, $p^\mu = m_0 u^\mu = m_0 \gamma (c,\vec{v})$и в нашей лабораторной раме $V(x,t) = V(x)$. Принимая $m=m_0 \gamma$и переход от собственного времени частицы к нашему лабораторному времени $t$( $\frac{d}{d\tau} = \gamma \frac{d}{dt}$) таким образом, мы получаем утверждение о сохранении массы (энергии) $$F^0 =0 = c \gamma \frac{d m}{dt}$$

Теперь мы проецируем весь закон Ньютона в направлении четырех скоростей.$u^\nu$(сумма с$u_\mu$). Мы используем это$u^\mu u_\mu =-c^2 \,$($-+++$подпись метрики),$u^\mu a_\mu = 0$, преобразуем в лабораторное время и получаем

$$- \gamma \vec{v} \cdot \nabla V = -c^2 \gamma \frac{dm_0}{d t}$$ Это можно упростить и переписать как $$\frac{d V(x(t))}{dt} = \frac{d (m_0 c^2)}{dt}$$ Или $$\Delta V = \Delta m_0 c^2$$ Обратите внимание, однако, что в этом процессе мы всегда $\Delta m = 0$из-за $F^0 = 0$. Таким образом, должна существовать частица (скажем, фотон), испускаемая в отдельном процессе, чтобы унести весь импульс и $T = mc^2 - m_0 c^2$.

Рассматривая частицу, покоящуюся на бесконечности, мы можем записать ее массу после связывания

$$m^{bound}c^2 = m_0^{bound}c^2 + (m_0^{bound} - m^{bound})c^2 = m_0^{\infty}c^2 + \Delta V + \Delta T \; \; \; (*)$$ где мы определяем кинетическую энергию $\Delta T=(m_0^{bound} - m^{bound})c^2$потому что это единственный член, зависящий от скорости, и $\Delta$означает тот факт, что один и тот же член был равен нулю до того, как был связан. Перед испусканием фотона мы будем иметь $\Delta T = -\Delta V$так что $\Delta m=0$применяется.

Естественно, мы называем$\Delta E \equiv \Delta T + \Delta V$. Легко обобщить, что

$$(mc^2)^{after} = (mc^2)^{before} + \Delta E,\, \to \Delta E = \Delta mc^2$$ Таким образом, нет необходимости вызывать абсолютное значение $E$или $V$вообще, что означает, что они действительно могут быть определены с точностью до произвольных констант. Таким образом, правильнее будет сказать, что $$E = mc^2 + C$$ И нет $V$! Почему? В вашем учебнике, написанном $E_{rest}$фактически они означают энергию покоя частицы, перенесённой из потенциала в бесконечность , т.е. $m_0^{\infty}c^2$. Таким образом, используя уравнение $(*)$и избавиться от кинетической энергии $\Delta T = 0$, мы получаем $$E = mc^2 + C = m_0^{\infty}c^2 + \Delta V + C$$

Итак, в вашем учебнике$U(\infty)=C$, и единственное оправдание установки его равным нулю состоит в том, чтобы форсировать отношение$E=mc^2$применять. С другой стороны, у массы нет такой свободы, потому что ее абсолютное значение определяет локальную динамическую реакцию частицы. Таким образом, вы можете повторить весь аргумент учебника, просто заменив$E\to mc^2$и ваша проблема решена.

---

РЕДАКТИРОВАТЬ: этот пост был полностью пересмотрен два раза с момента создания. Во-первых, был удален ошибочный аргумент, а во-вторых, добавлен математический вывод изложенных фактов. (Обратите внимание, что в предыдущей версии поста я небрежно использовал$m_0$как$m_0^{\infty}$.)