Нужны ли упражнения для понимания предмета учебника по математике?

Когда я читаю учебник по математике, я обычно пропускаю большинство упражнений. Вообще я не люблю упражнения, особенно искусственные. Вместо этого я концентрируюсь на понимании доказательств теорем, утверждений, лемм и т. д.

Иногда я пытаюсь доказать теорему до того, как прочитаю доказательство. Иногда я пытаюсь найти другое доказательство. Иногда я пытаюсь найти пример или контрпример. Иногда я пытаюсь обобщить теорему. Иногда я задаю вопрос и пытаюсь на него ответить.

Я думаю, что это хорошие «упражнения» для меня.

РЕДАКТИРОВАТЬ То, что я считаю очень хорошим «упражнением», выглядит следующим образом:

(1) Попробуйте доказать теорему, прежде чем читать доказательство.

(2) Если у вас нет идеи доказать это, взгляните немного на доказательство.

(3) Продолжайте пытаться доказать это.

(4) Если вы застряли, посмотрите немного на доказательство.

(5) Повторяйте (3) и (4), пока не найдете доказательство.

РЕДАКТИРОВАТЬ Другой метод, который я рекомендую вместо выполнения упражнений типа «домашняя работа»: попробуйте написать «учебник» по этому вопросу. Вам не нужно писать настоящий. Я пытался сделать это по теории Галуа. На самом деле я разместил «конспекты лекций» по теории Галуа на математическом интернет-форуме. Я считаю, что мои знания и навыки по этому вопросу значительно расширились.

Например, я обнаружил это , когда писал «конспекты лекций» по теории Галуа. Я мог бы также доказать, что любая проконечная группа является группой Галуа. Этот факт упоминается в алгебраической теории чисел Нойкирха. Позже я обнаружил, что у Бурбаки эта задача была упражнением. Но я не понимаю его намека. Позже я обнаружил, что кто-то написал статью по этой проблеме. Во время курса я сделал и другие маленькие «открытия». Я планировал написать «конспект лекции» по теории Галуа Гротендика. Это привлекательный план, но он еще не запущен.

РЕДАКТИРОВАТЬ Если вы хотите иметь упражнения, почему бы не сделать их самостоятельно? Когда вы изучаете предмет, у вас, естественно, возникают вопросы. Некоторые из них могут быть хорошими упражнениями. По крайней мере, у вас есть мотивация, которой нет у других. Это не домашнее задание. Например, я придумал следующий вопрос, когда изучал алгебраическую геометрию. Я обнаружил, что это хорошая проблема.

Позволять к быть полем. Позволять А — конечно порожденная коммутативная алгебра над к . Позволять п н "=" п р о Дж ( к [ Икс 0 , . . . Икс н ] ) . Определять ЧАС о м к ( С п е с ( А ) , п н ) .

Как я уже писал, поиск примеров или контрпримеров тоже может быть хорошим упражнением. Например, это хорошее упражнение по теории алгебр с делением.

РЕДАКТИРОВАТЬ Позвольте мне показать вам еще один пример самоупражнений. Я столкнулся со следующей проблемой, когда писал «конспект лекции» по теории Галуа.

Позволять К быть полем. Позволять К с е п быть сепарабельным алгебраическим замыканием К . Позволять г быть группой Галуа К с е п / К .

Позволять А — конечномерная алгебра над К . Если А изоморфно произведению полей, каждое из которых сепарабельно над К , А называется конечной этальной алгеброй. Позволять Ф я н Е т ( К ) — категория конечной этальной алгебры над К .

Позволять Икс быть конечным множеством. Предполагать г действует на Икс непрерывно. Икс называется конечным г -набор. Позволять Ф я н С е т с ( г ) быть категорией конечных г -наборы.

Затем Ф я н Е т ( К ) является антиэквивалентным Ф я н С е т с ( г ) .

Это нульмерная версия основной теоремы теории Галуа Гротендика. Вы можете найти доказательство в другом месте, но я рекомендую вам доказать это самостоятельно. Это несложно и является хорошим упражнением в теории Галуа. Подсказка : уменьшите это до случая, когда А является конечным сепарабельным расширением К и X является конечным транзитивным г -набор.

РЕДАКТИРОВАТЬ Если вы считаете, что это слишком широкий вопрос, вы можете добавить подходящие условия. Это мягкий вопрос.

не кажется очень полезным вопросом
Тот факт, что это может варьироваться в зависимости от книги (включая многие книги, например, «Алгебраическая теория чисел» Ланга , в которых нет упражнений), делает его слишком широким.
Несколько профессоров несколько раз говорили мне, что часто важно не понимать доказательство результата, а просто то, что он верен. При этом я согласен, что это широкий вопрос, и он зависит от личных предпочтений. Но, я думаю, большинство людей делают комбинацию того, что вы, кажется, делаете, но также решают некоторые упражнения. Одна книга, которая приходит на ум, для которой решение упражнений кажется необходимым для лучшего понимания предмета, — это «Коммутативная алгебра» Атьи-Макдональдса. Я не думаю, что многому научился бы, просто читая текст и пропуская упражнения.
@anthonyquas См. мой РЕДАКТИРОВАТЬ .
@Rankeya Я пропустил большинство упражнений Атьи-Макдональда. Вместо этого я читал Бурбаки, Мацумуру, Зариски-Самуэля.
Мне потребовалось бы много времени, чтобы просмотреть книги, которые вы упомянули, следуя вашему подходу. В идеале мне нравится пытаться доказать результаты, не видя доказательств, но таким образом я очень мало продвинулся. Вы умеренно быстро продвигаетесь по книгам, используя свой подход?
@Rankeya Вы, кажется, забываете, что эти книги освещаются гораздо шире, чем Атия-Макдональд.
Решение просто понять теорию (и построить доказательства теорем), но не использовать теорию для решения каких-либо проблем, напоминает мне следующую апокрифическую историю. Преподаватель (не склонный к спорту) прочитал комментарий великого теннисиста Бьорна Борга о том, что теннис - очень простая игра; все, что нужно было сделать, это перебросить мяч через сетку на один раз больше, чем другой парень. Он чувствовал, что отлично усвоил теорию, и поэтому сразу же принял участие в теннисном турнире в клубе факультета. Он не мог понять, почему проиграл в первом туре, не выиграв ни одного очка!
@Dilip Ты рано или поздно воспользуешься теорией, иначе теория не для тебя. Например, когда вы изучаете коммутативную алгебру, вы должны использовать теорию групп, теорию поля, теорию Галуа и т. д. Когда вы изучаете алгебраическую геометрию, вы должны использовать коммутативную алгебру, гомологическую алгебру, алгебраическую топологию, комплексный анализ, дифференциальную геометрию, и т. д..
@Rankeya Вы написали: «Вы достаточно быстро продвигаетесь по книгам, используя свой подход?» Нет, но я думаю, что это один из самых эффективных способов выучить предмет.
@DilipSarwate, сделайте свой комментарий ответом. Я хочу проголосовать за это.
Кроме того, по моему личному опыту (не то, чтобы у меня было много), разница между чтением учебника и чтением учебника и выполнением упражнений такая же, как между беглым просмотром книги и чтением книги. Это все равно, что иметь тяжелый астигматизм по сравнению с совершенно ясным зрением. Это также может быть настолько плохо, что вы даже не осознаете этого. (Я прочитал главу, а затем попробовал выполнить упражнения, но обнаружил, что совершенно не понял главу.)
@Dilip Вы, кажется, неправильно понимаете мои методы. Мои методы требуют творческих усилий.
@Limitless Похоже, вы тоже неправильно понимаете мои методы. Пожалуйста, прочтите все РЕДАКЦИИ .
@MakotoKato, извини, но ты неправильно понял. Я не комментирую ваши методы. На самом деле, я говорил исключительно о мнении Дилипа. Ваши методы действительно звучат хорошо. Но я согласен с Дилипом в том смысле, что если вы только прочитаете учебник, все будет именно так, как он сказал. Понимаем ли мы друг друга?

Ответы (6)

Если ваша цель — стать математиком-исследователем, важно выполнять упражнения. Конечно, найдутся редкие люди, которые смогут пропускать упражнения без ущерба для своего развития, но (и это я говорю по опыту примерно двадцатилетнего обучения исследовательской математике) такие люди действительно редки.

Другие виды упражнений, которые вы описываете, тоже хороши, и вы тоже должны их делать!

Смысл выполнения комплексных упражнений состоит в том, чтобы попрактиковаться в использовании определенных техник, чтобы вы могли понять, как и когда их использовать, когда вы сталкиваетесь с техническими препятствиями в своем исследовании.

В моей области есть две книги, упражнения в которых я обычно рекомендую своим студентам, — это книга Хартсхорна по алгебраической геометрии и книга Сильвермана по эллиптическим кривым . Упражнения в конце Касселя и Фролича тоже хороши.

Atiyah and MacDonald также известен своими упражнениями.

Один из возможных подходов (хотя и не рекомендуемый для всех) состоит в том, чтобы отложить выполнение упражнений, если они кажутся вам слишком сложными (или слишком трудоемкими, но обычно это эквивалентно слишком сложным), но вернуться к ним позже, когда вы почувствуете, что вам не хватает сил. лучше понять предмет. Однако, если по возвращении вы по-прежнему не можете довольно легко решить стандартные упражнения по теме, которую, по вашему мнению, вы хорошо знаете, вы, вероятно, не знаете эту тему так хорошо, как вам кажется.

Если ваша цель не состоит в том, чтобы стать математиком-исследователем, тогда понимание, вероятно, имеет другое значение и цель, и тогда ваш вопрос, возможно, будет иметь другой ответ, который я не тот человек, чтобы давать его.

Дорогой Мэтт, я думаю, что многие упражнения из книги Хартсхорна могли бы быть в основном тексте. На самом деле многие из них находятся в EGA с полными пруфами.
@MakotoKato: Дорогой Макото, да, верно. Но использование их в качестве упражнений для решения, а не результатов для изучения, придает им другую роль в обучении. (Я всегда подхожу к такого рода вопросам с «учебной» точки зрения, независимо от того, думаю ли я о своем собственном обучении или обучении моих учеников.) С наилучшими пожеланиями,
Какие вещи не требуют полного математического понимания?

Зависит от учебника, я полагаю. Некоторые учебники вводят в упражнения много материала, не развитого в основном тексте.

Я думаю, что самый важный момент в математике — думать о предмете в течение длительного периода времени. Если вы думаете о математике, то вы часто будете развивать интуицию, что очень важно. Конечно, если вы думаете о чем-то в течение длительного времени, то и запоминание материала улучшается.

В конечном счете, дело в том, что люди обычно больше узнают, делая что-то новое (сравните активное обучение с пассивным). Конечно, из каждого правила есть исключения, и вы лучше всех понимаете свои сильные и слабые стороны. Важным моментом является выявление своих слабых сторон и усердная работа над ними посредством сочетания активного мышления и решения проблем.

Конечно, это полностью субъективно и зависит от вашего интеллекта и памяти. Я подозреваю, что большинство людей на этом сайте хорошо разбираются в обеих областях, по крайней мере, в логике/математике.

Понимание теорем и работа с ними, как вы объяснили, — очень хороший способ понять материал, особенно если вы можете помнить об этом, когда это необходимо. Упражнения обычно повторяются, но также могут дать вам некоторый контекст, в котором вы можете/должны применять теоремы.

Таким образом, выполнение упражнений не является обязательным, но выполнение некоторых из них является хорошей идеей, чтобы подтвердить, что вы понимаете материал, и помочь запомнить этот материал. Тем не менее, я бы не советовал выполнять первые несколько упражнений (в большинстве учебников они самые простые), а выбрать несколько посередине или те, ответ или способ решения которых вам не очевидны. Обычно те, что ближе к концу раздела, либо жесткие, либо многословные, либо и то, и другое. Выполнение некоторых из них, возможно, того стоит, но некоторые могут быть просто длинными и разбросанными и, в конечном счете, не стоят времени.

Это всего лишь мой опыт работы с учебниками по математике, но я дошел только до уровня бакалавриата, поэтому насколько это верно для более высоких уровней, я не знаю.

абсолютно, вы не можете по-настоящему сказать, что понимаете что-то, пока не проработаете это

Я с ОП по этому поводу, я тоже пропускаю упражнения.

Вот логика: истинное понимание математики заключается в творческом подходе к ее приложениям, а не только к материалу как таковому.

Упражнения по определению подавляют творчество, представляя песочницу для размышлений.

Это немного похоже на Рокки 3: вы учитесь своему ремеслу, работая в тренажерном зале или поднимая бревна в лесу?

...и еще одно, я считаю, что следование примерам в книгах ведет к дегенеративной математике. Они увековечивают определенные стили мышления о проблемах.

Но без упражнений, как вы можете сказать, что вы действительно поняли определения и можете использовать определения и теоремы, данные в книге?
Действительно! И понимание, и ценность изученной математики должны проистекать из трех вещей: 1) Внутренняя согласованность, т. е. имеет ли она смысл 2) Независимость от уже понятой математики 3) Согласованность с приобретенной математикой будущего. Этот подход обеспечивает достоверную меру понимания с наименьшими ограничениями на творчество.
@AsafKaragila Я думаю, что можно создавать свои собственные упражнения, задавая как можно больше вопросов. Таким образом, человек тренируется не только задавать вопросы (что очень важно в исследовательской математике), но и отвечать на собственные вопросы. Я думаю, стоит делать сложные упражнения, если они есть в учебнике. Тем не менее, я согласен с «@bennyrimmer» в том смысле, что понимание математики в линейной шкале (которую люди изучают, выполняя упражнения) гораздо менее важно, чем понимание математики в более широком масштабе исследований (хотя и то и другое важно).
@Amitesh: Прежде чем заниматься исследованиями, нужно научиться заниматься математикой. Ваш комментарий - корень всех чудаков, и множество людей предполагают, что они, чистые любители без каких-либо реальных знаний или опыта, могут найти дыры в теореме Гёделя; или противоречия в теории множеств. Решение упражнений поможет вам убедиться, что вы полностью поняли теоремы и определения. Поверь мне, я знаю. Я много раз пропускал упражнения, но через много дней обнаружил, что мне не хватает существенного понимания, которое могло бы прийти при решении упражнений. Проведение оригинальных исследований приходит позже .
@ Асаф Я никогда не предлагал в своем комментарии не делать никаких упражнений. Тем не менее, я считаю, что выполнение слишком большого количества упражнений может быть вредным в долгосрочной перспективе для тех, кто стремится стать математиком-исследователем (но опять же, это зависит от упражнений, как я упоминал в своем комментарии выше: выполнение сложных упражнений, безусловно, иногда стоит) . Я согласен с тем, что решение упражнений важно, но я считаю, что если делать слишком много, то есть риск привыкнуть к определенным направлениям мысли, что сужает творческий потенциал при обдумывании исследовательских задач...
@Asaf ... Конечно, важно понимать определения и теоремы в учебнике, но если на это будет потрачено слишком много усилий, то об «общей картине» можно забыть. Короче говоря, я чувствую, что выполнение упражнений помогает очень хорошо понять технические детали предмета; но исследования часто касаются «общей картины», а не технических деталей (это мое впечатление); если у человека нет идей, то никакая техническая подготовка не поможет решить исследовательские задачи...
@Asaf ... Я говорю все это, потому что разные люди занимаются математикой по-разному, и я считаю, что нужно сохранять непредвзятость в отношении того, как следует заниматься математикой. Конечно, я не являюсь опытным математиком ни в каком смысле, но говорю это, имея изрядный опыт чтения учебников по различным разделам математики и выполнения некоторых (не всех) упражнений из этих учебников (и с некоторым опытом преподавание такой математики). Вы гораздо более компетентны, чем я, и я, конечно, не хочу вам противоречить; Я просто предлагаю альтернативную точку зрения.
@Amitesh: То, что я написал, исходит от чрезвычайно ориентированного на общую картину ума. Я ненавижу детали, и для меня важна общая картина. Однако математика занимается доказательством, а не предположением. Моя первоначальная догадка редко оказывается удачной, а когда это удается, всегда оказывается, что какая-то хитрость удерживает меня. Я до сих пор считаю, что нужно сначала решить некоторые упражнения, я никогда не писал, что нужно решить их все. Однако, если их полностью пропустить, в какой-то момент они потерпят неудачу. Я научился этому на собственном горьком опыте.
@ Асаф Я, конечно, согласен с тем, что не делать никаких упражнений, вероятно, в целом плохая идея. Думаю, я имел в виду, что, с другой стороны, выполнение каждого упражнения, вероятно, является плохой идеей. Я никогда не говорил, что не делать никаких упражнений — это хорошая идея, но я действительно думаю, что сочетание точки зрения «@bennyrimmer» и общего консенсуса по упражнениям в учебниках по математике может быть полезным; вот почему я считаю, что выполнение слишком большого количества сложных упражнений может быть не лучшей идеей (вместо того, чтобы выполнять сложные упражнения, я считаю, что нужно сосредоточиться на исследованиях).
Нужны ли упражнения для понимания предмета учебника по математике?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v