Является ли время наблюдаемым в релятивистской квантовой механике?

Превращается ли время в одну наблюдаемую?

Нет. Известно , что оператор$T$что удовлетворяет$[H,T]=i\hbar$является либо самоприлегающим, либо$H$неограниченным снизу или антисамосопряженным. Следовательно, теория либо внутренне ошибочна (произвольная отрицательная энергия), либо$T$ненаблюдаема (антисамосопряженная$\Rightarrow$мнимые собственные значения).

Теорема о том, что время не является наблюдаемой, довольно общая, Унру В., Уолд Р. доказывают это в «Время и интерпретация канонической квантовой гравитации, Physical Review D, том 40, выпуск 8, 1989 г.» в следующей форме: «... в контексте обычной квантовой механики Шредингера никакая динамическая переменная в системе с гамильтонианом, ограниченным снизу, не может действовать как идеальные часы в том смысле, что всегда существует ненулевая амплитуда для любой реалистичной динамической переменной, чтобы «бежать назад»».

Квантовая теория поля обходит эту проблему, сводя пространственные координаты к параметрам, которые перечисляют операторы поля.$\varphi(x,t)$слишком.

В общем, не ожидайте, что существует что-то квантовое, лоренцево ковариантное на фундаментальном уровне. Что волнует людей, так это ковариация Лоренца на уровне наблюдаемых, не более того.

Вопрос в том, является ли время оператором в смысле${\hat T}|t\rangle~=~t|t\rangle$. На первый взгляд это кажется логичным, потому что у нас есть оператор положения${\hat X}|x\rangle~=~x|x\rangle$. Однако это не работает. Это тонкий вопрос во многих отношениях.

Квантовая механика унитарна. Рассмотрим вектор состояния$|\psi(t)\rangle$эволюционировать в небольшой отрезок времени, поэтому$|\psi(t)\rangle~\rightarrow~|\psi(t + \delta t)\rangle$. Это расширение Тейлора дает

$$\psi(t + \delta t)\rangle~=~|\psi(t)\rangle + \frac{\partial|\psi(t)\rangle}{\partial t}\delta t + O(\delta t^2).$$ Теперь пиши $|\psi(t)\rangle~=~e^{-i\omega t}|\psi(t_0)\rangle$, и использовать соотношение типа де Бройля $\omega~=~E/\hbar$, так что энергия $E$является собственным значением гамильтониана ${\hat H}|E\rangle~=~E|E\rangle$. Мы видим, что оператор Гамильтона является эрмитовым генератором унитарного оператора развития во времени $U(t)~=~e^{i{\hat H}t/\hbar}$. Тогда гамильтониан является генератором, который сообщает, как состояние развивается по мере того, как $t~\rightarrow~t' > t$, и ${\hat H}~=~i\hbar\partial/\partial t$.

Предположим, что время является оператором. Теперь мы можем исследовать энергетическое развитие государства.$|\psi(E)\rangle~\rightarrow~|\psi(E + \delta E)\rangle$и таким же образом мы можем видеть, что оператор времени${\hat T}~=~-i\hbar\partial/\partial E$. Пока все кажется в порядке. Мы можем вычислить коммутатор двух операторов, действующих на$|\psi(t)\rangle$и$|\psi(E)\rangle$

$$[{\hat T}, {\hat E}]|\psi(t)\rangle = [{\hat T}, i\hbar\frac{\partial}{\partial t}]|\psi(t)\rangle$$ $$= -i\hbar\left({\hat T}\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle~-~\frac{\partial}{\partial t}\big({\hat T}|\psi(t)\rangle\big)\right)~=~i\hbar|\psi(t)\rangle.$$ Почти то же самое работает, если мы рассмотрим $|\psi(E)\rangle$с ${\hat T}~=~-i\hbar\partial/\partial E$.

Рассмотрим эрмитов оператор времени${\hat T}$такой, что$[{\hat T},~H]~=~i\hbar$, поэтому унитарный оператор$U_\epsilon~=~exp(-i\epsilon{\hat T})$существует. Это оператор развития энергетики, где$\epsilon$находится в множестве вещественных чисел. Штат$\psi$в собственном базисе гамильтониана$H\psi~=~E\psi$, с коммутатором

$$[U_\epsilon,~H]~=~\sum_{n=0}^\infty{{(-i\epsilon)^n}\over{n!}}[{\hat T}^n,~H]~=~-\epsilon U_\epsilon.$$ определяет составной оператор $HU_\epsilon$ $$HU_\epsilon\psi~=~(U_\epsilon H~-~[U_\epsilon,~H])\psi~=~(E~+~\epsilon)U_\epsilon\psi.$$ $U_\epsilon\psi$является собственным состоянием гамильтониана с собственным значением $E~+~\epsilon$. Гамильтониан $HU_\epsilon$не дискретно и не ограничено снизу, так как $\epsilon$имеет континуум значений на реалах. Если гамильтониан $H$дискретен и ограничен ниже $U_\epsilon$отображает эти собственные значения на весь набор действительных чисел, и оператор времени не существует

Определить оператор времени

$${\hat T}~=~i\hbar\sum_{j\ne k}{{|E_j\rangle\langle E_k|}\over{E_j~-~ E_k }}.$$ который действует на кет $|t\rangle~=~N^{1/2}\sum_nexp(iE_nt/\hbar)$как $${\hat T}|t\rangle~=~i\hbar\sum_{j\ne k}{{|E_j\rangle\langle E_k|}\over{E_j~-~E_k }}|t\rangle~=~iN^{-1/2}\hbar\sum_{j\ne k}(E_j - E_k)^{-1}|E_j\rangle e^{-iE_kt/ħ}.$$ Это суммирование Фурье, которое в непрерывном пределе дает $t|t\rangle$по интегральной формуле Коши. Теперь вычислите матричные элементы $[T,~H]$для $|\psi\rangle~=~\sum_ja_j|E_j\rangle$ $$\sum_ja_j\langle E_i|[T,~H]|E_j\rangle~=~i\hbar\sum_{j,k,l}a_j\langle E_i|(E_k~-~E_l)^{-1}|E_k\rangle\langle E_l |E_j\rangle$$ $$=~i\hbar\sum_{j,k}a_j\langle E_i| (E_k~-~E_j)^{-1}|E_k\rangle,$$ где матричный элемент $\langle E_i|(E_k~-~E_j)^{-1}|E_k\rangle~=~\delta_{ik}(E_k~-~E_j)^{-1}$. $|E_i\rangle$не находится в проективной сумме оператора времени для $[{\hat T},~H]~=~i\hbar$, и вообще $[{\hat T},~ H]~=~0$.

Последовательность состояний Коши будет сходиться к ограниченному состоянию$|\psi\rangle~=$ $\sum_{j=0}^Na_j(N)|E_j\rangle$, для$N$граница полного набора. Для коэффициента$\sim~(1/j)$как$N~\rightarrow~\infty$точка накопления содержит плотное множество точек с$E~+~\delta E$собственные значения энергии, которые удовлетворяют$\sum_j\langle E_j|\psi\rangle~=~0$. Это означает, что коммутатор$[T,~H]~=~i\hbar$выполняется на множестве нулевой меры, а для функции$\psi(t)$почти периодическая функция.

В этом смысле в релятивистской квантовой механике, основанной на уравнении Дирака, время превращается в одну наблюдаемую?

Нет, но приравнивается к пространственным координатам. Уравнение Дирака

$$(i \hbar \gamma^\mu \partial_\mu - mc )\psi$$

где$\psi$не классическая волновая функция, а четырехкомпонентный спинор . Компоненты спинора являются функцией положения в четырехмерном пространстве-времени.$\vec s = (\vec r, ct)$, абсолютное значение которого в квадрате$s^2 = (ct)^2-\vec r^2$является лоренц-инвариантным. Таким образом, в известном смысле время не становится наблюдаемым: пространственные координаты «понижаются» до меток.

Обновление :

Проведя недолгий поиск в Интернете, я обнаружил , что на самом деле можно ввести оператор времени и получить непротиворечивую теорию («Показано, что возражение Паули разрешается или обходится», цит.), но, по-видимому, гораздо проще просто понизить пространственные координаты и рассматривать их как метки. Я также обнаружил , что оператор времени в определенном смысле можно ввести даже в классической квантовой механике.