Тонкую структуру можно получить, рассматривая релятивистский гамильтониан, а также добавляя поправки на магнитные поля и т. д.
Для водорода эти эффекты малы, что позволяет легко получить аналитическое решение с использованием теории возмущений (которая включала запись релятивистской кинетической энергии в виде ряда Тейлора в и только выходя на срок). Однако в этом нет необходимости , так как полный гамильтониан также можно решить численно.
Для внутренних орбиталей тяжелых элементов релятивистский эффект велик и решается с помощью уравнения Дирака . Почему нельзя вместо этого использовать релятивистский гамильтониан (но решить его численно без теории возмущений) для этих сильно релятивистских систем?
Гамильтониан, связанный с уравнением Дирака, на самом деле не является гамильтонианом какой-либо физической системы. Причина в том, что «релятивистский гамильтониан», о котором вы говорите, предполагает, что существует фиксированное, конечное число фермионов, а на самом деле это никогда не бывает так. Всегда присутствует дираковское море электронов с отрицательной энергией (и мюонов, и кварков и т. д.), заполняющих все пространство вокруг нас. Вы не можете описать истинный гамильтониан для этого бесконечного числа фермионов, не используя теорию поля, которая имеет непрерывное число степеней свободы и которую нельзя точно диагонализовать. (Требуется теория возмущений.)
Для таких задач, как атом водорода с идеализированным (точечным, бесконечно массивным) протоном, который имеет только один электрон, вы часто можете в определенной степени обойти эти проблемы. Однако, если вы хотите иметь дело с многоэлектронным атомом, явлений теории поля можно избежать. С несколькими электронами вы должны начать учитывать явления обмена, в которых статистика Ферми-Дирака идентичных частиц влияет на структуру волновой функции. В двухэлектронном атоме, таком как нейтральный гелий, можно представить себе, что электроны постоянно рассеиваются друг на друге, причем процесс рассеяния включает в себя как прямое, так и обменное рассеяние (при котором электроны меняются местами). Однако, когда вы начинаете включать релятивистские поправки, вы также должны учитывать обменное рассеяние на электронах с отрицательной энергией, заполняющих море Дирака. Таким образом, невозможно получить точную картину теории без использования гамильтониана, включающего полное бесконечное число частиц, а это означает, что вы должны использовать теорию поля.
Дерек Сибрук
Кевин Костлан