Относится ли форма Вселенной к искривлению пространства-времени в 5-мерном пространстве? [дубликат]

Нет, ваше убеждение неверно. Мы, по крайней мере, в Общей теории относительности (ОТО), не встраиваем наше пространство-время в пространство более высокого измерения (или, как вы сказали, в четырехмерное пространство).

Хотя я согласен с тем, что многие искривленные поверхности можно представить вложенными в более высокое измерение, мы делаем ОТО иначе. Фактически, картина, которую вы имеете, является одной из самых вводящих в заблуждение для интерпретации математики ОТО.

Итак, что происходит, так это то, что вы ограничены своим 4-мерным многообразием и не знаете, что находится за его пределами, подобно тому, как муравей, ограниченный сферой, просто представляет ее как 2-мерное пространство и не знает, что она встроена в пространство. трехмерное пространство.

Теперь, чтобы иметь дело с такими проблемами, Гаусс нашел правильный математический аппарат, который был усовершенствован Рейманом. На самом деле результат, который вы заявляете о суммах углов треугольника на изогнутой поверхности, получен без встраивания поверхности в более высокое измерение. Нам удается выяснить, искривлено пространство или нет, оставаясь в этом пространстве и не видя его снаружи (путем встраивания).

Математика начинается с теоремы Гаусса-Бонне и затем приводит к реймановой геометрии. То, что мы вычисляем, является внутренней кривизной. Например: представьте себе цилиндр, вы можете видеть его изогнутым, но это не криволинейная поверхность. Имеет нулевую внутреннюю кривизну. Чтобы добраться до этого чисто математически, вам нужно показать, что тензор кривизны Реймана равен нулю, но вы также можете увидеть это интуитивно. С другой стороны, сфера искривлена.

Цилиндр имеет внешнюю кривизну (которую можно вычислить путем его встраивания), но не имеет внутренней кривизны, тогда как сфера имеет внутреннюю кривизну.

ОТО формулируется на языке внутренней кривизны. Конечно, нет ничего плохого в изучении, скажем, двумерной сферы, встроенной в трехмерное пространство. Но в этом нет необходимости, и требование, чтобы такое многомерное пространство вообще существовало, является чрезмерным ограничением. Довольно удивительно осознавать, что 2-сфера может просто существовать только в 2-х измерениях: геометрия закодирована на поверхности.

Нет необходимости в многомерном пространстве, в которое можно встроить пространственное многообразие. Кривизна Римана — это мера внутренней кривизны поверхности — она не зависит от вложения и не требует его.

Тензор Римана — это фундаментальная величина, описывающая внутреннюю кривизну поверхностей. Хороший способ визуализировать, как он «измеряет» кривизну по своей природе (без ссылки на пространство вложения), состоит в том, чтобы исследовать, как одиночный вектор,$V^\mu$, заканчивается, когда он параллельно транспортируется по двум различным кривым,$C$и$C'$. Следующая картинка из Накахара 7.3:

Запуск$p$, параллельный транспорт$V^\mu(p)$к$q$дистанция$\epsilon$далеко вдоль$C$дает$V^\mu_C(q) = V_0^\mu - V_0^\kappa \Gamma^\mu_{\nu \kappa}(p)\epsilon^\nu$. Затем, наряду с$q$дистанция$\delta$к$r$дает

$$V^\mu_C(r) = V^\mu_C(q)-V^\kappa_C(q)\Gamma^\mu_{\nu \kappa}(q)\delta^\nu$$ который мы можем записать как $$V^\mu_C(r) \simeq V_0^\mu - V_0^\kappa\Gamma^\mu_{\nu \kappa}(p)\epsilon^\nu - V_0^\kappa\Gamma^\mu_{\nu \kappa}(p)\delta^\nu - V_0^\kappa[\partial_\lambda \Gamma^\mu_{\nu \kappa}(p)-\Gamma^\rho_{\lambda \kappa}(p)\Gamma^\mu_{\nu \rho}(p)]\epsilon^\lambda\delta^\nu$$ где мы сохранили условия до второго порядка в$\epsilon$и$\delta$.

Вы можете сделать то же упражнение на другой кривой,$C'$. Тогда, когда вы берете разность векторов в точке$r$Вы получаете

$$V^\mu_{C'}(r) - V^\mu_C(r) = V_0^\kappa[\partial_\lambda \Gamma^\mu_{\nu \kappa}(p) - \partial_\nu \Gamma^\mu_{\lambda \kappa}(p) - \Gamma^\rho_{\lambda \kappa}(p)\Gamma^\mu_{\nu \rho}(p) + \Gamma^\rho_{\nu \kappa}(p)\Gamma^\mu_{\lambda \rho}(p)]\epsilon^\lambda \delta^\nu = V_0^\kappa R^\mu_{\kappa \lambda \nu}\epsilon^\lambda \delta^\nu,$$ где$R^\mu_{\kappa \lambda \nu}$является тензором Римана. Таким образом, мы можем думать о римановой кривизне как о проистекающей из того факта, что ориентация вектора, подвергающегося параллельному переносу, зависит от пути, пройденного на искривленных поверхностях. Важно отметить, что нет ссылки на какое-либо пространство для встраивания.

Конечно, часто бывает полезно визуализировать пространства с положительной пространственной кривизной как сферы, существующие в многомерном пространстве, но это потому, что мы, люди, привыкли видеть вещи таким образом. Часть удовольствия от дифференциальной геометрии заключается в том, чтобы научиться избавляться от этих привычек восприятия и понимать поверхности с точки зрения их внутренней геометрии.