Я слышал, что соотношение Крамерса-Кронига ограничивает действительную и мнимую части комплексной диэлектрической проницаемости. . Какая интуиция стоит за этим отношением?
Имея опыт работы в области электротехники, я подумал, что мнимую часть комплексной диэлектрической проницаемости в некоторых ситуациях можно рассматривать как (где электропроводность и угловая частота). Если бы это было так, нельзя ли было бы взять диэлектрик с какой-нибудь отличной от нуля вещественной частью и с нулевой проводимостью , тем самым нарушив соотношение? Что мне здесь не хватает?
Соотношения Крамерса-Кронига являются выражением в частотной области Фурье того факта, что линейная восприимчивость является причинной функцией, т. е. диэлектрический отклик сигнала к принуждению имеет форму
Один из способов понять, как это приводит к соотношениям Крамерса-Кронига, состоит в том, чтобы исследовать преобразование Фурье напрямую,
Это чрезвычайно важно, так как класс аналитических функций чрезвычайно жесткий, и это накладывает жесткие ограничения на поведение . Одним из таких ограничений является Крамерс-Крониг — по сути, версия интегральной формулы Коши, примененная к контуру, идущему вдоль действительной оси, с бесконечно малой полупетлей над полюсом, а затем обратно по окружности на бесконечности .
Однако я не думаю, что это самый полезный способ увидеть вещи, и есть прекрасный аргумент во временной области, который намного яснее; это довольно хорошо объяснено в Википедии , но стоит повторить здесь. Если смотреть с точки зрения временной области, отношение Крамерса-Кронига представляет собой простую смесь двух ключевых идей:
Действительная и мнимая части преобразования Фурье. находятся во взаимно однозначном соответствии с четной и нечетной частями временной области Это простая часть стандартного знания Фурье: если функция четна, ее преобразование Фурье действительно, а если нечетно, то ее преобразование мнимо; для произвольных функций просто добавьте два.
Если функция всегда равна нулю то его четная и нечетная части должны быть равны при и напротив в . Другими словами, единственный способ получить для всех состоит в том, чтобы четная и нечетная части были заданы
Соотношения Крамерса-Кронига - это просто преобразования Фурье этих двух тождеств, использующие теорему свертки для вычисления преобразований этих произведений. Это делает эти преобразования извилинами,
Что касается основных моментов интуиции, то на самом деле это так: эти тождества теперь находятся в той же структурной форме, что и окончательные соотношения Крамерса-Кронига, и остается только вычислить преобразование Фурье знаковой функции : как и преобразование Фурье функции Хевисайда , является распределением, и его преобразование Фурье нетривиально вычислить, но именно отсюда берется главное значение Коши.
Итак, наконец, позвольте мне завершить это графическим описанием процесса из Википедии:
Соотношения Крамерса-Кронига - это просто утверждение о том, что функция является причинной во временной области, или, в частности, функция во временной области имеет вид
Где является некоторой функцией времени, и — тета-функция Хевисайда, которая равна нулю для отрицательных моментов времени.
Физически это означает, что диэлектрическая функция является причинной, она отлична от нуля только после того, как система почувствует импульс.
Вы можете посмотреть эту ссылку для получения дополнительной информации
Эмилио Писанти