Как результат отсутствия изменения во времени гравитационной постоянной GGG связан с измерением отсутствия локального расширения?

Если применить космологическое расширение в масштабах системы Земля-Луна, то за какой-то короткий промежуток времени$\delta t$расстояние между Землей и Луной увеличивается от$r$к$r+\delta r$. Тогда сила притяжения между телами изменится:

$F+\delta F=\frac{GMm}{(r+\delta r)^2}\approx\frac{GMm}{r^2}\left(1+\frac{\delta r}{r}\right)^{-2}\approx\frac{GMm}{r^2}\left(1-\frac{2\delta r}{r}\right)=F\left(1-2\frac{\delta r}{r}\right)$

Такое же изменение гравитационной силы могло произойти и через изменение$G$:

$F+\delta F=\frac{(G+\delta G)Mm}{r^2}=F\left(1+\frac{\delta G}{G}\right)$

Приравнивание$\delta F$термины показывают вам, что изменение силы из-за увеличения расстояния такое же, как изменение силы из-за уменьшения$G$если

$\frac{\delta G}{G}=-2\frac{\delta r}{r}$

Теперь, если наш$\delta r$связано с тем, что космологическое расширение применимо к этой шкале расстояний, то для скорости расширения$v$,$\delta r=v\delta t$и с помощью закона Хаббла$v=H_0 r$где$H_0$постоянная Хаббла, которая составляет около$70kms^{-1}Mpc^{-1}$, которые мы хотим преобразовать в единицы СИ ($ms^{-1}{m^-1}=s^{-1}$), что дает нам$H_{0}=2.26\times10^{-18}s^{-1}=7.1\times10^{-11}yr^{-1}$

Таким образом, включение этого в наше уравнение дает$\frac{\delta G}{G}=-2\frac{H_{0}r\delta t}{r}$. Упрощение и превращение$\frac{\delta G}{\delta t}$в$\dot{G}$мы заканчиваем с

$\frac{\dot{G}}{G}=-2H_{0}$

Это упрощенный способ сделать это, но я считаю, что основная идея находится на правильном пути. Космологически обусловленное увеличение расстояния между Землей и Луной привело бы к уменьшению взаимной силы между ними так же, как уменьшение$G$было бы, если бы они остались на том же расстоянии. Преобразование математики, как указано выше, дает вам прямую пропорциональность между$\frac{\dot{G}}{G}$и$H_0$, хотя константа пропорциональности для общей теории относительности, вероятно, не совсем то, что я здесь придумал (и другие теории гравитации могут давать другие значения).

Упомянутая вами статья устанавливает экспериментальный предел этой константы пропорциональности (примерно)$0.006 \pm 0.012$(используя значение$H_0$выше), в отличие от «прогнозируемого» значения$-2$

Причина выражения результата в терминах$\frac{\dot{G}}{G}$идея, что это напрямую вытекает из того, что они измеряют, независимо от какой-либо теории. Т.е. это все, что вы можете сделать, чтобы наложить численные ограничения на расширение, не привязываясь к конкретной теории или значению$H_0$

(Я считаю, что комментарий Джона Ренни верен, что они используют '$AU$шкале», чтобы указать, что они говорят о влиянии на порядок Солнечной системы, а не о галактических или космологических расстояниях.)

Отличная анимация смены луны в течение месяца BTW.

В этом обзоре рассматривается ваш мини-вопрос : гравитационная сила на Луне из-за Земли составляет всего около 40% гравитационной силы на Луне из-за Солнца, поэтому гравитация в масштабах длины, сравнимых с расстоянием между Солнцем и Землей, играет решающую роль. львиную долю роли в определении эволюции положения Луны. Модель, по-видимому, также включает возмущения системы Земля-Луна от Юпитера, Венеры и, возможно, других тел; Я не следил за ссылками.