Понимание гравитационного анализа замочной скважины для околоземных объектов

Я изучал резонансный возврат и анализ гравитационной замочной скважины для ОСЗ и использовал расширение теории близких столкновений Эпика (она же теория Эпика-Валсекки, Valsecchi et al., Astron Astrophys 408:1179–1196, 2003), разработанную для выявления замочные скважины на B-плоскости встречи для астероида. Понять аналитическую часть относительно легко. Однако его числовая реализация сбила меня с толку;

Когда у меня есть геометрическое место Земли для следующего столкновения, соответствующее определенной большой полуоси, используя минимальное расстояние пересечения орбиты (MOID) , я могу определить, возможно ли столкновение или близкое столкновение.

Аналитическая теория предполагает, что мои замочные скважины для следующей встречи должны находиться вблизи пересечения круга и линии MOID, представленных на b-плоскости (плоскость цели). Они показали соответствующие этому численные результаты, но не упомянули, как были получены преобразования.

Я пытался взять координаты пересечения для различных резонансов и распространить их как при ограниченном (n+1) движении тела, так и при кеплеровской модели, но не смог получить подобных результатов.

Как можно проверить эту конкретную часть?

Проблема состоит в том, чтобы определить, повлияют ли точки, лежащие на b-плоскости моей первой встречи рядом с линией MOID, на следующую встречу. Для этого эти точки должны быть численно распространены от текущего столкновения к следующему. Для этого требуется гелиоцентрический вектор состояния этих точек$(\vec{r}, \vec{v})$. И я не знаю/не знаю преобразований, которые могут преобразовать мои координаты b-плоскости$(\xi, \eta, \zeta)$которые лежат рядом с MOID для$(\vec{r}, \vec{v})$.

Здесь случай, когда мой исходный набор VA не касается резонансного круга, а лежит близко к нему, но мой MOID пересекает эти круги, в отличие от случая, когда я могу использовать матрицу вращения для получения обратных преобразований.

Как вы можете видеть на изображении, для 99942 Апофиса (2004MN4) я не имею никакого воздействия на Землю (красный кружок) в 2029 году. Но мой MOID (черная линия) пересекается с резонансным кругом 6:7, что указывает на наличие замочных скважин . Я застрял в получении гелиоцентрических координат точки, лежащей вблизи пересечения черной линии и синего круга.