Как показать, что произведение тензора Киллинга и касательного вектора сохраняется вдоль геодезической?

Рассмотрим поле убийства$K_\mu$. Теперь произведение поля Киллинга и касательного вектора равно$Q_K = K_\mu \dfrac{dx^\mu}{d\lambda}$.

Теперь по геодезической, параметризованной аффинным параметром$\lambda$,

$\dfrac{d}{d\lambda}Q_K = \dfrac{d}{d\lambda}\big(K_\mu \dfrac{dx^\mu}{d\lambda}\big)$

$=\dfrac{\partial K_\mu}{\partial x^\nu} \dfrac{dx^\nu}{d\lambda}\dfrac{dx^\mu}{d\lambda} + K_\mu \dfrac{d^2x^\mu}{d\lambda^2}$

$=K_{\alpha;\nu}+K_\alpha \Gamma^\alpha _{\mu\nu}\dfrac{dx^\nu}{d\lambda}\dfrac{dx^\mu}{d\lambda}+ K_\mu \dfrac{d^2x^\mu}{d\lambda^2}$

$=K_\mu \bigg(\dfrac{d^2x^\mu}{d\lambda^2}+\Gamma^\mu _{\alpha\nu}\dfrac{dx^\alpha}{d\lambda}\dfrac{dx^\nu}{d\lambda}\bigg) = 0$

Итак, количество$Q_K$сохраняется вдоль геодезической.

Редактировать Тот факт, что сохраняющаяся величина очевидна вдоль геодезической, прекрасно связан с теоремами Нётер, как показано в этом ответе childofsaturn .

Можно прямо показать, что она сохраняется вдоль геодезических, как это сделал Двидж, но также полезно отметить, что это всего лишь частный случай теоремы Нётер. В частности, всякий раз, когда метрика имеет изометрию, порожденную векторным полем$K^{a}$лагранжиан$L = \frac{1}{2}g_{ab}\dot{x}^a \dot{x}^b$инвариантен относительно преобразования$\delta x^{a} = \epsilon K^{a}$. Теперь вспомним, что когда лагранжиан инвариантен относительно некоторого преобразования$\delta x$, соответствующий нётеровский заряд равен$J = \delta x \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}$. Здесь это просто становится$g_{ab}K^{a}\dot{x}^b.$