Собственные множества вырожденной теории возмущений

Нет, вы диагонализируете в подпространстве усеченного вырождения D , поэтому ваши собственные наборы определенно не являются собственными наборами полного гамильтониана ! Большинство текстов излишне формальны и теряют вас в дебрях абстрактного формализма, и вы даже не подумали проиллюстрировать их глупым минимальным примером. Вот один.

Брать

$$H_0+\lambda V= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 3\\ 2 & 3 & 7 \end{pmatrix} .$$

Учитывать

$$|1\rangle=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ,\qquad |2\rangle=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \qquad |3\rangle=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ,$$ $$|a\rangle= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} , \qquad |b\rangle= \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,$$ поэтому ортогональные состояния $|a\rangle, |b\rangle$диагонализовать возмущение подпространства 1-2, но, очевидно, не весь гамильтониан.

Вы должны проверить непосредственным вычислением, а также в соответствии с вашим текстом или WP, что в низшем порядке по λ, то есть без учета его квадрата, собственные значения энергии и собственные состояния равны

$$E_A= 1-\lambda; \qquad E_B= 1+\lambda; \qquad E_C=2+\lambda 7 ;\\ |A\rangle= |a\rangle + \frac{\lambda}{\sqrt{2}} |3\rangle= \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ - 1\\ \lambda \end{pmatrix} ~; \qquad |B\rangle= |b\rangle -\lambda \frac{5} {\sqrt{2}}|3\rangle= \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ -5\lambda \end{pmatrix} ~; \\ |C\rangle= |3\rangle -\lambda \frac{1} {\sqrt{2}}|a\rangle +\lambda \frac{5} {\sqrt{2}}|b\rangle= \begin{pmatrix} 2\lambda \\ 3\lambda\\ 1 \end{pmatrix} ~.$$

Вспомним нормализацию, ортогональность и т.д.$O(\lambda^2)$только.

В заключение,$|a\rangle, |b\rangle$не являются точными гамильтоновыми собственными состояниями, и в принципе сохраняются все порядки возмущения. Они просто избежали нулей в знаменателе резольвенты, сняв вырождение. То есть они гарантировали, что$|A\rangle$не будет$|b\rangle$коррекция до первого порядка, а также$|B\rangle$не будет$|a\rangle$исправление, потому что этот базис имеет диагонализацию V , поэтому он не может соединить$|a\rangle$с$|b\rangle$и они пока не влияют друг на друга . А вот более высокие порядки - другое дело.

• Примечание мелким шрифтом (небрежное) к приведенному выше «пока»: избегать до 3-го чтения.

На самом деле лишний произвольный кусок$\propto \lambda |b\rangle$в$|A\rangle$и$\propto \lambda |a\rangle$в$|B\rangle$не влияет (связь) на уравнение собственных значений в первом порядке по λ , обсуждаемом выше, как вы можете легко проверить: потенциал O (λ) суперотобрал их до этого порядка. Однако , как вы можете проверить в Courant-Hilbert Methods of Mathematical Physics, v1 p 248 и обсуждается в этом вопросе , вы получаете две безвредные (безударные) части в этом порядке, а именно

$$|A\rangle=\hbox{ above } - \lambda \frac{5}{4} |b\rangle,\qquad |B\rangle=\hbox{ above } + \lambda \frac{5}{4} |a\rangle,\\ \langle b|A\rangle=\frac{\lambda}{2}\langle b|V|3\rangle \frac{1}{E^{(0)}_{a,b}-E^{(0)}_{3}}\langle 3|V|a\rangle=-5/4, \qquad \langle a|B\rangle=5/4.$$
Эти куски, билинейные по потенциалу!, конструктивно «отвалились» от расчета 2-го порядка, где λ ² дисконтировалось на λ в знаменателе подпространства $E^{(1)}_{b}-E^{(1)}_{a}=2\lambda$. Конкретные коэффициенты 5/4 фиксируются в соответствии с энергиями следующего порядка. Но эту тонкость вы уже видели выше, в нулевом порядке: $|a\rangle, |b\rangle$из $O(\lambda^0)$на самом деле были указаны $O(\lambda)$потенциальные соображения. В любом случае, для уверенности вычислите $$E_A= 1-\lambda -\lambda^2/2 + 7\lambda^3/8+...; \\ E_B= 1+\lambda-25\lambda^2/2+625\lambda^3/8+...; \\ E_C=2+7\lambda +13\lambda^2-79\lambda^3+...$$