Уровни энергии в непосредственной близости друг от друга в нестационарной теории вырожденных возмущений

Question

Уровни энергии в непосредственной близости друг от друга в нестационарной теории вырожденных возмущений

Джонбалтис

Я применил к энергии не зависящие от времени поправки теории вырожденных возмущений второго порядка с помощью метода, представленного в «Современной квантовой механике» Дж. Дж. Сакураи.

Я кратко резюмирую этот метод:

Я диагонализировал свое возмущение $V$ , писать $H_0$ (невозмущенный гамильтониан) в том же базисе, и я нахожу собственные $H_0$ быть $\left|l^{\left(0\right)}\right\rangle$ .

Теперь я смотрю на вырожденное подпространство $D$ , где $\left|l^{\left(0\right)}\right\rangle$ имеет только 2 вектора и вычислить поправку первого порядка:

Δ_{л}^{(1)} "=" ⟨ л^{(0)} | В | л^{(0)} ⟩

$\Delta_{l}^{\left(1\right)}=\left\langle l^{\left(0\right)}\right|V \left|l^{\left(0\right)}\right\rangle$

Это становится матрицей 2 на 2 (двойное вырождение), для которой я нахожу собственные значения. Это поправки к энергиям.

и коррекция второго порядка.

Δ_{л}^{(2)} "=" \sum_{к \notin Д} \frac{| В_{к л}^{2} |}{Е_{Д}^{(0)} - Е_{к}^{(0)}}

$\Delta_{l}^{\left(2\right)}=\sum_{k\notin D}\frac{\left|V_{kl}^{2}\right|}{E_{D}^{\left(0\right)}-E_{k}^{\left(0\right)}}$

Где $k$ являются состояниями, не принадлежащими вырожденному подпространству
$E_{k}^{\left(0\right)}$ это энергия состояния $k$ .
$E_{D}^{\left(0\right)}$ – энергия вырожденного невозмущенного состояния.

Это мои результаты: Результаты теории возмущений

«Точные» результаты получаются при численном решении уравнения Шредингера.

Теперь моя проблема заключается в следующем, коррекция основного состояния очень хорошая (как видно на изображении).

Поправки ко второму и третьему энергиям не такие хорошие, это связано с тем, что они лежат близко друг к другу и таким образом знаменатель в поправке второго порядка становится большим, что нехорошо (так мне сказали ).

Как я могу исправить эту проблему?

Если что-то в моем вопросе неясно, пожалуйста, дайте мне знать!

Али Мох

Вы не представили гамильтониан и возмущение в своем вопросе.

Джонбалтис

Я думаю (достаточно уверен), что решение этой задачи совершенно не зависит от вида рассматриваемого гамильтониана. Я сознательно исключил эти (довольно сложные) уравнения.

Мартин

Я не понимаю, как «энергии слишком близки друг к другу» могут иметь какое-либо отношение к проблеме, кроме проблем со стабильностью в числовом выражении, если только это не подразумевает (по математическим причинам), что у вас будут большие поправки высокого порядка. термины, что оставило бы только один вывод: включить в расчет термины более высокого порядка... Но, может быть, я ошибаюсь?

Ответы (2)

Уровни энергии в непосредственной близости друг от друга в нестационарной теории вырожденных возмущений

Вы не представили гамильтониан и возмущение в своем вопросе.
Я думаю (достаточно уверен), что решение этой задачи совершенно не зависит от вида рассматриваемого гамильтониана. Я сознательно исключил эти (довольно сложные) уравнения.
Я не понимаю, как «энергии слишком близки друг к другу» могут иметь какое-либо отношение к проблеме, кроме проблем со стабильностью в числовом выражении, если только это не подразумевает (по математическим причинам), что у вас будут большие поправки высокого порядка. термины, что оставило бы только один вывод: включить в расчет термины более высокого порядка... Но, может быть, я ошибаюсь?

Джонбалтис · Answer 1

Второй и третий энергетический уровень действуют как «почти» вырождение и поэтому не работают. Одним из условий работы теории возмущений является то, что матричные элементы возмущения не могут быть больше, чем расстояние между уровнями энергии, что и имеет место здесь.

Решением было бы ввести действительное вырождение для этого «почти» вырождения и рассматривать разницу как возмущение. Это можно сделать следующим образом, записав гамильтониан в диагональном базисе $H=diag(E_1, E_2, E_3, E_4, \cdots)$ к $H=diag(E_1, E_{23}, E_{23}, E_4, \cdots)$ с дополнительным возмущением $V=diag(0,-\Delta, \Delta,0,\cdots$ , где $E_{23}$ это среднее между $E_2$ и $E_3$ и $\Delta$ различия между средним и реальным уровнем энергии.

Я реализовал это, и видно, что это решает проблему.

новое решение

Джон · Answer 2

Я не эксперт по квантовой механике или что-то в этом роде, но в последнее время я много работал с разбиениями и масштабированием номиналов.

Попробуйте изменить интервалы магнитного поля на такие, которые сходятся в районе 4,5 и 2,5, 8,5 и 1,4. Вот почему:

Это связано с линейным определением 2 и 4, когда они превращаются в десятичные дроби вместо половинок и четвертей. 4 составляет 40% от 10, но 25% от 16. Это проявляется во времени, потому что мы больше не выполняем табличное суммирование; мы не носим 1, как это было, когда эти константы были разработаны.

Перпендикулярное свойство магнетизма к диаметру электричества придает ему более точный поворот в углах напротив 9. Это не так хорошо, как нечетные числа, но это хорошо для переломных моментов, которые упускаются. По отношению к минуте и к кругу, нарисованному с отношением пи, и электрическое, и магнитное поля перпендикулярны в разделенных интервалах, а не в целых полях, которые округляются до прямоугольников после десятичной запятой.

Уровни энергии в непосредственной близости друг от друга в нестационарной теории вырожденных возмущений

Джонбалтис

Али Мох

Джонбалтис

Мартин

Ответы (2)

Джонбалтис

Джон

Анализ собственных значений частицы в конечной квадратной яме

Зависящие от времени потенциалы в квантовой механике

Изменяет ли энергия симметризация волновой функции?

Теория возмущений с вырождением даже после 1-го порядка

Энергии второго порядка четвертого возмущения гармонического осциллятора [закрыто]

Связь между теорией возмущений и разложением Тейлора в КМ

Условие квантования WKB - отрицательное?

Быстрый вопрос по теории возмущений

Почему общее решение уравнения Шредингера является линейной комбинацией собственных функций?

Приближение самосогласованного поля и приближение однородного поля?