Что физически представляют недиагональные элементы матрицы Гамильтона?

Короткий вопрос: каков "физический смысл" недиагональных элементов матрицы Гамильтона? Например, гамильтонова матрица выглядит так:

ЧАС ^ "=" ( Е 11 Е 12 Е 21 Е 22 )
Мой учитель сказал мне такой матричный элемент:
Е 21 "=" ⟨ 2 | ЧАС ^ | 1 ⟩
Соответствующая амплитуде перехода от | 1 ⟩ к | 2 ⟩ . Я думал об этом в течение нескольких дней, но я просто не могу понять это.

Если диагональные записи существуют, | 1 ⟩ и | 2 ⟩ не являются собственными состояниями, поэтому нам нужно беспокоиться о переходе одного в другое. Вы видели тот факт, что опыт ⁡ ( − я ЧАС ^ т / ℏ ) решает уравнение Шредингера?
@КоннорБехан Да! Ты прав! Но у меня другая беда: я знаю это: Е 21 "=" ⟨ 2 | е Икс п ( − я ЧАС ^ т / ℏ ) | 1 ⟩ представляют переходную амплитуду перехода от | 1 ⟩ к | 2 ⟩ , Но я до сих пор понятия не имею, какая связь между ⟨ 2 | е Икс п ( − я ЧАС ^ т / ℏ ) | 1 ⟩ и ⟨ 2 | ЧАС ^ | 1 ⟩ , могу ли я получить от вас больше советов, пожалуйста?
@ConnorBehan Я пытался использовать расширение Тейлора, чтобы расширить оператор эволюции, но, похоже, это не может помочь, так как | 1 ⟩ не является собственным состоянием ЧАС ^ как вы сказали, так нет такого ⟨ 2 | ( ЧАС ^ ) н | 1 ⟩ "=" ⟨ 2 | ЧАС ^ | 1 ⟩ н , я думаю, я все еще не могу что-то сказать об этом :(

Ответы (3)

Помните, что смысл гамильтониана в первую очередь в том, что он генерирует временные сдвиги через уравнение Шредингера:

я ℏ ∂ ∂ т | ψ ( т ) ⟩ "=" ЧАС ^ | ψ ( т ) ⟩
Вы можете формально решить уравнение Шрёдингера для независимого от времени гамильтониана как | ψ ( т ) ⟩ "=" е − я ЧАС т / ℏ | ψ ( 0 ) ⟩ . Чтобы получить некоторую интуицию, разложите экспоненту в степенной ряд:
| ψ ( т ) ⟩ "=" | ψ ( 0 ) ⟩ − я т ℏ ЧАС | ψ ( 0 ) ⟩ − т 2 2 ℏ 2 ЧАС 2 | ψ ( 0 ) ⟩ + …
Теперь представьте, что ваша система запускается в состоянии | 1 ⟩ . Тогда, согласно приведенному выше уравнению, если ЧАС имеет недиагональные элементы, соединяющие состояние | 1 ⟩ государству | 2 ⟩ , то уравнение Шредингера будет генерировать некоторую амплитуду для системы в более позднее время, чтобы быть в состоянии | 2 ⟩ . Скорость, с которой состояние переходит из | 1 ⟩ к | 2 ⟩ будет пропорционально ⟨ 2 | ЧАС | 1 ⟩ , по крайней мере, до первого порядка в т . Вы можете увидеть это, просто используя разрешение личности, 1 "=" | 1 ⟩ ⟨ 1 | + | 2 ⟩ ⟨ 2 | :
| ψ ( т ) ⟩ "=" | 1 ⟩ − я т ℏ ( ⟨ 1 | ЧАС | 1 ⟩ | 1 ⟩ + ⟨ 2 | ЧАС | 1 ⟩ | 2 ⟩ ) + …

Большое спасибо! У меня осталось еще одно подтверждение: поскольку ЧАС ^ не является диагональной матрицей (что означает | 1 ⟩ и | 2 ⟩ не собственные состояния ЧАС ^ ), это приводит к: нет такого ⟨ 2 | ( ЧАС ^ ) н | 1 ⟩ "=" [ ⟨ 2 | ЧАС ^ | 1 ⟩ ] н в разложении Тейлора, поэтому мы используем некоторую аппроксимацию для лучшего понимания, тогда мы, наконец, получаем это:
⟨ 2 | ЧАС ^ | 1 ⟩ ∝ ⟨ 2 | е Икс п ( − я ЧАС ^ т / ℏ ) | 1 ⟩
Я прав?
Приближение остановки на н "=" 1 да. ⟨ 2 | ЧАС | 1 ⟩ это не буквально амплитуда перехода ... просто ее первый нетривиальный член.
@Коннор Бехан Отлично! Большое спасибо!

Это похоже на ответ Зака, но на более элементарном уровне.

Вам нужно начать с уравнения Шредингера, зависящего от времени.

я ℏ д д т | ψ ( т ) ⟩ "=" ЧАС ^ | ψ ( т ) ⟩

Используя заданную гамильтонову матрицу и написав состояние | ψ ( т ) ⟩ как вектор-столбец это становится

я ℏ ψ ˙ 1 ( т ) "=" Е 11 ψ 1 ( т ) + Е 12 ψ 2 ( т ) я ℏ ψ ˙ 2 ( т ) "=" Е 21 ψ 1 ( т ) + Е 22 ψ 2 ( т ) .

Теперь предположим, что система запускается в состоянии | 1 ⟩ . Это означает, что начальное условие | ψ ( 0 ) ⟩ "=" | 1 ⟩ или

ψ 1 ( 0 ) "=" 1 ψ 2 ( 0 ) "=" 0.

Тогда решение для небольших т является

ψ 1 ( т ) "=" 1 − я Е 11 т ℏ + О ( т 2 ) ψ 2 ( т ) "=" − я Е 21 т ℏ + О ( т 2 )

Вот видите, это матричный элемент Е 21 определение того, насколько быстро ψ 2 компонент растет от нуля до больших значений.

Недиагональные элементы представляют собой «связь» между этими базисными состояниями. Я полагаю, что она равна амплитуде перехода в пертурбативном приближении. Чтобы понять недиагональные элементы, рассмотрим, что произошло бы, если бы они были равны нулю. Тогда диагональная матрица гамильтониана уже выражена в собственных состояниях гамильтониана. ЧАС ^ | 1 ⟩ "=" Е 11 | 1 ⟩ и ЧАС ^ | 2 ⟩ "=" Е 22 | 2 ⟩ . Это происходит только тогда, когда ⟨ 1 | ЧАС ^ | 2 ⟩ "=" 0 . Если ⟨ 1 | ЧАС ^ | 2 ⟩ ≠ 0 , то состояния | 1 ⟩ и | 2 ⟩ связаны вместе этим ЧАС ^ , и собственные состояния ЧАС ^ будет некоторая суперпозиция | 1 ⟩ и | 2 ⟩ .

Что физически представляют недиагональные элементы матрицы Гамильтона?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v