Неинтегрируемые волновые функции

Предположим, что возмущение первого порядка дает достоверную поправку к энергии, но поправку к волновой функции, которую нельзя интегрировать с квадратом. Это может случиться, я не вижу причин, почему этого не могло быть. Если только нет доказательств того, что этого не может быть (я их не нашел). И если это произойдет, то поверите ли вы рассчитанному сдвигу энергии?

Не пришло мне в голову, что это должно быть запрещено теоремой Като-Реллиха. Но я проверю, чтобы быть уверенным.
Да, спасибо... Дело в том, что в теории возмущений поправка 1-го порядка к собственной функции выражается как линейная комбинация всех невозмущенных собственных функций. Конечно, каждая из невозмущенных собственных функций интегрируема с квадратом, но ряд может давать неинтегрируемую функцию.
Сами исправления зависят от вашего потенциала. Вопрос в том, какой потенциал вы позволяете добавить к своей проблеме. Взяв в качестве примера атом водорода, мы получаем поправку, которая ведет себя как Σ м 2 н 2 м 2 − н 2 < н ( 0 ) | В | м ( 0 ) > . Если мы сможем ввести потенциал, матричные элементы которого распадаются медленнее, чем н 2 м 2 , мы можем получить расходящийся ряд.
Это деликатная проблема, ее следует обсудить в главе VI книги Като «Теория возмущений для линейных операторов», Springer 1966.
Мне любопытно узнать контекст, в котором это возникает.
Не совсем то, о чем вы спрашиваете, но рассмотрим гамильтониан гармонического осциллятора ЧАС с λ Икс 4 возмущение. Это имеет «достоверные» поправки для собственных значений и собственных векторов, но для λ < 0 , ЧАС + λ Икс 4 не имеет дискретных собственных значений, поэтому нельзя верить формальным расчетам возмущений.
напоминает мне о похожем, но более широком вопросе 0celo7 о том, приводит ли когда-либо математическая небрежность в QM к неверным прогнозам» physics.stackexchange.com/questions/348913/…

Ответы (2)

Я думаю, что доказательство вики для термина коррекции первого порядка довольно ясно. https://en.wikipedia.org/wiki/Perturbation_theory_(квантовая_механика)#First_order_corrections

Важное предложение, связанное с вашим вопросом, звучит так: «Пусть В быть гамильтонианом, представляющим слабое физическое возмущение». Ядром возмущения является линеаризация при малых изменениях, так что не думайте, В как некоторые обычные потенциалы, которые содержат сингулярности, если это так, это, вероятно, означает, что ваша система ограничена бесконечной стеной в гораздо меньшей области.

Тогда, прежде чем получить поправочный член, имеется выражение ( Е н ( 0 ) − Е к ( 0 ) ) ⟨ к ( 0 ) | н ( 1 ) ⟩ знак равно ⟨ к ( 0 ) | В | н ( 1 ) ⟩ что гарантировало, что RHS является небольшим конечным числом, и каждый торфяной базисный вектор (по крайней мере, первый) интегрируем с квадратом (интегрируемость с квадратом означает, что вы можете получить конечное число, а не интегрируемость по Риману).

Если вы построили В так что он не интегрируется с квадратом, то вам не следует использовать теорию возмущений, потому что это «удар», а не возмущение.

Исходя из основ КМ , единственные волновые функции , которые можно интегрировать с квадратом , являются физическими. Следовательно, волновые функции , которые не интегрируются с квадратом, могут проявляться только в математике, но никакая физическая система не может иметь такую ​​волновую функцию .

Помимо исходного гамильтониана , поправки к энергиям и волновым функциям зависят только от возмущений ( гамильтониан взаимодействия ). Ограничивая физически приемлемые волновые функции , мы можем существенно ограничить допустимые возмущения данной исходной системы.

Самое замечательное то, что этот тип ограничений на разрешенные взаимодействия естественным образом встречается в контексте квантовой теории поля (КТП) . Используя калибровочную инвариантность исходного лагранжиана .

Например, применяя калибровочную инвариантность к свободному лагранжиану Дирака , мы получаем квантовую электродинамику , КЭД , лагранжиан , которые имеют только один член взаимодействия, соответствующий взаимодействию фермион-фотон.

Кроме того, в КТП нефизические взаимодействия могут быть исключены анализом размерностей и перенормируемостью теории.

Так что никаких бесплатных частиц для вас?
@lalala, что ты имеешь в виду?
Собственные функции гамильтониана свободных частиц не суммируются с квадратом.
@lalala Нет. Он интегрируем с квадратом. Для свободной частицы: \psi_k(r) = [e^{ik.r}]/\sqrt{V} и \integral dr |\psi_k(r)|^2 = 1.
не интегрируется, так как ψ * ψ является константой, поэтому интегрирование по всему пространству даст бесконечности... если, конечно, В также бесконечен, но тогда ваш ψ к ( р ) везде ноль...
Неинтегрируемые волновые функции
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v