Является ли теорема о оболочках только приближением?

Если вы поместите частицу очень близко к границе, то сила очень близкой к ней материи будет очень велика, как вы говорите. Но это лишь малая часть скорлупы; все остальное тянет в другую сторону, к центру. Теорема об оболочке гарантирует, что эти силы точно сокращаются.

Большинство математических форм рассматриваются на странице википедии, на которую вы ссылаетесь в своем вопросе. Там для доказательства теоремы о оболочках принимается, что оболочка имеет массу на единицу площади$\sigma$и разделите его на множество коаксиальных колец с осью, проходящей по диаметру, который проходит через тестовую массу.$\theta$угол между диаметром, проходящим через испытательную массу, и линией, проходящей от центра сферы к одному из колец.

Переходя к главному, мы можем найти гравитационное поле, создаваемое одним из тонких колец в тестовом положении, которое находится на расстоянии$r$из центра сферы радиуса$R$и масса$M$, где$s$- расстояние от испытательного положения до точки на кольце определяется выражением

Для полной сферической оболочки пределы равны$s_{\rm min} = R-r$(когда$\theta=0$) к$s_{\rm max}=R+r$(когда$\theta=\pi$и результат равен нулю - это теорема оболочки и должна работать для любого значения$r\leq R$.

Однако, чтобы ответить на ваш конкретный вопрос, почему гравитационное поле из-за части оболочки, ближайшей к контрольной точке, не расширяется к бесконечности, поскольку контрольная точка приближается к поверхности оболочки и подавляет противоположную (но явно конечное) поле, создаваемое массой, распределенной по остальной части сферы?

Посмотрите на приведенное выше уравнение и на то, как оно ведет себя, когда$r$очень близко к (но меньше, чем)$R$. В этом случае$s_{\rm min} \simeq 0$, и$(R^2-r^2)/s \simeq 2R$что приводит к конечному нижнему пределу.

На словах происходит то, что количество массы, которое «бесконечно мало» к пробной массе, становится бесконечно малым, гарантируя, что гравитационный эффект этой массы не разрастется до бесконечности.

Теорема об оболочке предполагает непрерывное распределение материи в оболочке.

Если бы вы подошли бесконечно близко к реальной физической оболочке, вы бы обнаружили, что она тоже состоит из частиц. Когда вы проходили через оболочку, происходило одно из двух:

1. Вы можете врезаться в одну из частиц и испытать негравитационную силу.

2. Через отверстие в скорлупе можно было выйти наружу.

Второй случай интересный. Для сплошной оболочки существует разрыв между силой внутри (нулем) и силой снаружи (эквивалентно точечной массе в центре оболочки). При прохождении частицы через маленькое отверстие в сферической оболочке этот разрыв сглаживается. Если частица не проходит через центр отверстия, сглаженная гравитационная сила будет включать некоторую составляющую, параллельную поверхности оболочки; детали зависят от того, насколько «комковатой» является оболочка.

Несколько вещей ...

1) Я не думаю, что теорема об оболочке применима к двумерному однородному кольцу, как указано в ОП. Если вы изучите математику случая трехмерной сферы, вы поймете, что в случае трехмерного пространства есть дополнительный термин «грех». (Или, другими словами, сфера НЕ равна набору двумерных однородных колец.)

2) В чисто теоретическом мире, где трехмерная сфера на 100% состоит из равномерно и непрерывно распределенной массы (вместо дискретных частиц), проблема разрыва может быть решена следующим образом:

2А) Представьте, что на сфере есть маленькое отверстие (радиусом x). Предположим, что частица движется по прямой линии изнутри сферы наружу через центр отверстия. Если мы построим общую гравитационную силу, действующую на частицу, в зависимости от расстояния, которое проходит частица, то это будет непрерывная функция (очевидно).

2B) Теперь рассмотрим эту графику функции, поскольку мы делаем x -> 0. Предел представляет собой прерывистую ступенчатую функцию, в то время как для любого x > 0, каким бы малым он ни был, сама функция всегда непрерывна.

2C) Что происходит, когда дырки нет? (Или вы спрашиваете, что происходит, когда я достигаю предела?) Насколько я понимаю, закон Ньютона неприменим, если расстояние между материей точно равно нулю. В физическом мире нулевого расстояния не бывает. Тем не менее, в чисто теоретическом математическом мире закон Ньютона также просит вас не допускать этого.

1. Теорема оболочки выводится главным образом из законов движения Ньютона, в частности, из второго закона Ньютона , которые применимы только к частицам .

2. Условие применения второго закона Ньютона исходит из предположения, что толщина оболочки пренебрежимо мала по сравнению с радиусом оболочки, так что малая часть оболочки рассматривается как частицы и применяется закон Ньютона.

3. Другая важная причина приведенного выше предположения заключается в том, что существует противоречие в применении математики, потому что интегральное исчисление начинается с малого количества, и вы не можете рассматривать оболочку как «маленькую», когда частица объекта находится очень близко к оболочке. Это можно представить как бесконечное увеличение.

4. Теорема оболочки — это всего лишь идеальная модель в физике, как и любые другие законы, часто есть некоторые предположения, которые мы можем игнорировать, а законы физики часто являются приближениями к реальному миру.

Это объясняет, что теорема об оболочке неприменима, когда объект-частица находится очень близко к оболочке. Поскольку оболочку нельзя рассматривать как композицию частиц с помощью исчисления, когда объект-частица находится очень близко к оболочке.

Когда я выводил теорему с помощью исчисления, мне было трудно узнать, какая сила будет действовать на поверхность оболочки, и оказалось, что они основаны на одном и том же принципе. Этот вопрос относится к Гравитационному полю на поверхности сферической оболочки .

Большая часть моих мыслей была из книгиAn Introduction to Mechanics (Kleppner, Kolenkow) (1973)