Скаляр Риччи для диагонального метрического тензора

Предыдущий ответ правильный, но не дает практического алгоритма для людей, потому что вычислять тензор кривизны — это кошмар. Вам нужен хороший алгоритм раздачи, или же вам нужен пакет символьных манипуляций. Я предпочитаю ручные расчеты для симметричных Анзацев, потому что они всегда показательны.

Традиционный упрощенный метод заключается в использовании форм кривизны, и этот метод описан у Misner Thorne and Wheeler. Это необходимо для понимания Kerr Solutions. Также стоит изучить формализм Ньюмена-Пенроуза, потому что он дает физическое понимание. Я предпочитаю использовать свой собственный математически неизящный самодельный метод, потому что большая часть упрощения в продвинутых методах на самом деле связана только с использованием того, что в литературе по информатике называется «вычислениями с разреженными матрицами».

Если у вас есть матрица, состоящая в основном из нулей, например кривизна по диагонали, вам не следует записывать ее в матричной форме, если только вы не хотите накачать сильные мышцы руки для письма. Ввести нековариантные базисные тензоры "l_{ij}", которые отличны от нуля в позиции i,j. Затем запишите метрику в формате «в основном плюс» следующим образом:

$$g_{\mu\nu} = -A l_{00} + B l_{11} + C l_{22}$$ $$g^{\mu\nu} = -{1\over A}l^{00} + {1\over B} l^{11} + {1\over C}l^{22}$$

Где я перешел к трем измерениям, чтобы избежать безнадежно длинного ответа, и где я надеюсь, что обозначения ясны. Для теоретической элегантности базисный тензор$l_{00}$действительно должно быть написано как$l^{00}_{\mu\nu}$если вы хотите, чтобы это соответствовало обычным соглашениям об указателях, но поскольку цель состоит в том, чтобы мышцы письма были как можно более дряблыми, не делайте этого. Поскольку l смехотворно зависят от координат, вы можете выразить смехотворно нетензорные объекты, такие как коэффициенты связи и тензор энергии псевдонапряжения.

Расчет соединения

Есть приемы расчета связи, вроде вывода геодезического уравнения, но я не буду их использовать. Если вы используете базис-тензоры, получить коэффициенты связи совсем не составит труда, а с практикой вы сможете выполнять большую часть работы в уме для более простых анзацев.

Во-первых, дифференцировать метрику. Поскольку «диагональ» не является большим упрощением, я буду предполагать «диагональность и зависимость только от x1 и x0». Я буду использовать штрих для дифференцирования относительно$x_1$, и точка для дифференцирования по$x_0$:

$$g_{\mu\nu,\alpha} = - \dot{A} l_{000} - A' l_{001} + \dot{B}l_{110} + B'l_{111} + \dot{C}l_{220} + C' l_{221}$$

Урок в том, что дифференциация тривиальна. Обратите внимание, что это симметрично по первым двум индексам и ничего особенного по третьему индексу. Символы Кристоффеля симметричны по двум последним индексам и ничего особенного по первому. Вы передаете симметрию между позициями индекса следующим образом:

$$P_{i|jk} = Q_{ij|k} + Q_{ik|j} - Q_{jk|i}$$

Где P симметричен в двух последних позициях, а Q симметричен в первых двух. Привыкайте к этому, потому что это часто всплывает. Первый член имеет тот же порядок индексов только благодаря правильному соглашению о порядке индексов, второй член принудительно симметрирует вторую и третью позиции, а последний член требуется, чтобы P сохранял всю информацию в Q. Вы можете выполнить эту процедуру на l автоматически, просто заменив$l_{001}$с$l_{001} + l_{010} - l_{100}$, и так далее. Это то, что вы делаете, чтобы получить$\Gamma$от производной g.

Вот формула для всех нижних индексов$\Gamma$(так никогда не писалось, потому что$\Gamma$это не тензор, но я делаю это здесь, просто чтобы не печатать рукой).

$$\Gamma_{\mu|\nu\sigma} = -{1\over 2} ( -\dot{A} l_{000} - A'(l_{001} + l_{010} -l_{100})$$ $$+ \dot{B} (l_{110} + l_{101} - l_{011}) + B' l_{111}$$ $$+ \dot{C}(l_{220} + l_{202} - l_{022}) + C'(l_{221} + l_{212} - l_{122}) )$$

Чтобы поднять индексы, когда метрика является диагональной, тривиально, вы просто повышаете индекс на l и делите на соответствующую диагональную запись:

$$\Gamma^\mu_{\nu\sigma} = {\dot{A}\over 2A} l^0_{00} - {A'\over 2A} (l^0_{01} + l^0_{10}) - {A'\over 2B} l^1_{00} + {\dot{B}\over 2B}(l^1_{10} + l^1_{01}) - {\dot{B}\over 2A}l^0_{11} + {B'\over 2B} l_{111} +...$$

Где остальное должно быть очевидно. С практикой это занимает минуту, чтобы сделать это вручную.

Расчет кривизны Риччи.

Чтобы рассчитать кривизну, важно отслеживать по мере продвижения , потому что это вдвое сокращает работу. В кривизне Римана всегда есть куча хлама Вейля, который вас в основном не волнует.

Я всегда пишу формулу для тензора Римана так:

$$R^\mu_{\nu\lambda\sigma} = \Gamma^\mu_{\nu\lambda,\sigma} \mathrm{(AS)} + \Gamma^\mu_{\nu s}\Gamma^s_{\lambda\sigma} \mathrm{(AS)}$$

«AS» означает вычесть одно и то же выражение с$\nu$и$\sigma$поменяны местами. Эта форма обладает тем свойством, что она антисимметрична по нижнему первому и третьему индексам, поэтому это не обычное соглашение для тензора Римана, который антисимметричен по последним двум индексам. Но это легко исправить в конце. Поверь мне, это лучшая конвенция, ты все исправишь в конце.

След Риччи в этом соглашении находится на первых двух индексах:

$$R_{\mu\nu} = R^\alpha_{\alpha\mu\nu}$$

Это важно, потому что каждый член, который вы получаете в тензоре Римана, имеет букву «l», и если верхнее число l не совпадает с крайним левым нижним числом, то этот член не вносит вклад в тензор Риччи. Чтобы получить тензор Риччи, вы просто игнорируете все$l^a_{bcd}$с$a\ne b$и запиши$l_{cd}$вместо тех$l$которые имеют$a=b$.

Теперь продифференцируем выражение для$\Gamma$, прикрепляя индекс в конце. Я продемонстрирую с одним из вкладов, от принятия$x_1$производная от первого члена:

$$\Gamma^\mu_{\nu\lambda,\sigma} \mathrm{(AS)} = ..+ ({\dot{A}\over 2A})' (l^0_{001} - l^0_{100})$$

Где второй член является антисимметризатором. Но теперь взгляните на две буквы l --- есть ли у одной из них совпадающий индекс слева вверху и слева внизу? Да! Так что сотрите верхнее и нижнее левое число из l, и у вас останется вклад в тензор Риччи:

$$({\dot{A}\over 2A})'l_{01}$$

Все это можно проделать в своей голове, термин за термином. Если вы получите$l$который$l^0_{221}$это не может способствовать Риччи, потому что нижний первый и третий индексы не совпадают с верхними, если вы получаете$l^0_{121}$потом его убивают антисимметризацией и т.д. и т.п., это все очевидно.

Далее нужно умножить$\Gamma$с собой и след. Здесь вы отрабатываете все условия. Но это конечный расчет, а не безнадежный. Вы не получаете вклад, если только крайний левый нижний индекс не совпадает с верхним индексом, так что остается только несколько терминов, и, кроме того, вы получаете ноль на некоторых l-членах после антисимметризации и трассировки (в вашей голове). Тогда остается всего несколько оставшихся слагаемых, и это реальные вклады в кривизну, так что избежать их вычисления невозможно.

Первый раз занимает некоторое время, но с практикой это занимает всего несколько минут для более простых анзацев и несколько часов для самых сложных.

Скаляр Риччи - это просто след тензора Риччи, который, в свою очередь, представляет собой тензорное сокращение тензора кривизны Римана, который может быть выражен в символах Кристоффеля, определяемых локальной метрикой.

$$R=R^i_i=g^{ij}R_{ij}$$

$$R_{ij}={R^k}_{ikj}$$

$${R^{\rho}}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^{\rho}_{\nu\sigma}-\partial_\nu\Gamma^{\rho}_{\mu\sigma}+\Gamma^{\rho}_{\mu\lambda}\Gamma^{\lambda}_{\nu\sigma}-\Gamma^{\rho}_{\nu\lambda}\Gamma^{\lambda}_{\mu\sigma}$$

$$\Gamma^{i}_{kl} = \frac{1}{2}g^{im}(\partial_lg_{mk}+\partial_kg_{ml}-\partial_mg_{kl})$$

как вы видите, когда у вас есть метрика, вы можете рассчитать все эти количества.

Несмотря на то, что этот вопрос старый, но да, такие формулы есть, вы можете проверить книгу Ландау о классических полях (том 2, параграф 92) или проверить эту работу (там формулы не так хороши, как у Ландау)

Тензор Риччи диагональной метрики

Обновлять:

Так как книга русская и старая, подытожу здесь результат (с небольшими изменениями):

Если предположить, что диагональная метрика имеет вид:

$$g_{\mu\mu}\equiv u_{\mu}e^{2l_{\mu}}\::\: u_{\mu}=\text{sign} g_{\mu\mu}$$ затем определите: $$L_{\mu\nu\rho}\equiv l_{\rho,\nu}\left(l_{\nu}-l_{\rho}\right)_{,\mu}-l_{\rho,\mu\nu}$$ тогда тензор Римана имеет вид: $$R_{\rho\mu\rho\nu}=\begin{cases} {\displaystyle g_{\mu\mu}\left(L_{\mu\nu\rho}+l_{\mu,\nu}l_{\rho,\mu}\right)} & :\:\rho\neq\mu\neq\nu\\ {\displaystyle g_{\mu\mu}L_{\mu\mu\rho}+g_{\nu\nu}L_{\rho\rho\mu}-g_{\rho\rho}g_{\mu\mu}\sum_{\lambda\neq\rho,\mu}\frac{l_{\mu,\lambda}l_{\rho,\lambda}}{g_{\lambda\lambda}}} & :\:\rho\neq\mu=\nu \end{cases}$$ и тензор Риччи: $$R_{\mu\nu}=\begin{cases} {\displaystyle \sum_{\rho\neq\mu,\nu}\left(L_{\mu\nu\rho}+l_{\mu,\nu}l_{\rho,\mu}\right)} & :\:\mu\neq\nu\\ {\displaystyle \sum_{\rho\neq\mu}\left[L_{\mu\mu\rho}+\frac{g_{\mu\mu}}{g_{\rho\rho}}\left(L_{\rho\rho\mu}-l_{\mu,\rho}\sum_{\lambda\neq\mu,\rho}l_{\lambda,\rho}\right)\right]} & :\mu=\nu \end{cases}$$

Остальные компоненты тензора равны нулю.