Размерность гильбертова пространства спина 1/21/21/2 одинаковых частиц?

Question

Размерность гильбертова пространства спина 1/21/21/2 одинаковых частиц?

Камиль

Рассмотрим систему $N$ вращаться $1/2$ частицы. Предположим, что спин является единственной степенью свободы и, следовательно, пространственная составляющая отсутствует. Тогда размерность гильбертова пространства в этом случае равна $2^N$ . Это следует из того, что в этом случае имеем $j_1 = j_2 = \ldots = j_N = 1/2.$ И размерность пространства продукта

(2 {Дж}_{1} + 1) (2 {Дж}_{2} + 1) \dots (2 {Дж}_{Н} + 1) .

$(2j_1 + 1) (2j_2 + 1) \ldots (2j_N + 1).$

Теперь предположим, что эти частицы подчиняются статистике Ферми-Дирака, потому что они идентичны фермионам. Теперь меня просят определить размер векторного пространства.

Я не очень понимаю ответ. Мой профессор дал следующий ответ: согласно принципу запрета Паули никакие две частицы не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии. В этом случае у нас есть только два состояния (спин вверх, спин вниз). Так что вариантов всего два:

Н "=" 1 : ∣ + ⟩, ∣ - ⟩ тусклый "=" 2

$N=1 : \qquad \mid + \rangle, \quad \mid - \rangle \qquad \dim = 2$

Н "=" 2 : \frac{1}{\sqrt{2}} (∣ + ⟩ ∣ - ⟩ - ∣ - ⟩ ∣ + ⟩) тусклый "=" 1.

$N=2 : \qquad \frac{1}{\sqrt{2}} \bigg( \mid + \rangle \mid - \rangle \ - \ \mid - \rangle \mid + \rangle \bigg) \qquad \dim = 1.$

Я не понимаю, как можно получить эти размеры. Я не понимаю, как принцип Паули может быть важен для определения размерности. Частицы просто заполняют самые низкие энергетические уровни (не более двух из них занимают одно и то же состояние). Это не значит, что есть только два государства? Они также будут характеризоваться квантовым числом $n$ например?

Феникс87

«Статистика Ферми-Дирака» - это физический способ сказать «проецировать вниз на антисимметричное подпространство полного гильбертова пространства». В этом случае полное гильбертово пространство равно

C^{2} \otimes \dots \otimes C^{2}

$\mathbb C^2\otimes\cdots\otimes\mathbb C^2$

N

$N$ раз. Проекция на антисимметричное подпространство аналогична рассмотрению внешнего произведения

C^{2} \land \dots \land C^{2}

$\mathbb C^2\wedge\cdots\wedge\mathbb C^2$

N

$N$ раз. Отсюда следует размерность: для

N = 1

$N=1$ просто

C^{2}

$\mathbb C^2$ , следовательно, размерность 2; для

N = 2

$N=2$ Внешний продукт просто

C

$\mathbb C$ , следовательно, размерность 1; для

N > 2 = \dim (C^{2})

$N>2=\operatorname{dim}(\mathbb C^2)$ подпространство

{0}

$\{0\}$ .

Ответы (1)

Размерность гильбертова пространства спина 1/21/21/2 одинаковых частиц?

«Статистика Ферми-Дирака» - это физический способ сказать «проецировать вниз на антисимметричное подпространство полного гильбертова пространства». В этом случае полное гильбертово пространство равно $\mathbb C^2\otimes\cdots\otimes\mathbb C^2$ $N$ раз. Проекция на антисимметричное подпространство аналогична рассмотрению внешнего произведения $\mathbb C^2\wedge\cdots\wedge\mathbb C^2$ $N$ раз. Отсюда следует размерность: для $N=1$ просто $\mathbb C^2$ , следовательно, размерность 2; для $N=2$ Внешний продукт просто $\mathbb C$ , следовательно, размерность 1; для $N>2=\operatorname{dim}(\mathbb C^2)$ подпространство $\{0\}$ .

Барт В. · Answer 1

Если спин — единственная степень свободы, это также означает, что все частицы в вашей системе будут иметь одинаковые квантовые числа для любого свойства, кроме спина. Это делает ваш аргумент о том, чтобы занимать самые низкие энергетические уровни, несколько излишним, поскольку существует только один энергетический уровень. Следовательно, в вашей системе может быть не более двух частиц, так как есть только две возможности закрутки спина. $\frac{1}{2}$ частица. Третья частица обязательно будет иметь тот же спин, что и одна из двух других, и, следовательно, принцип запрета Паули будет нарушен.

Теперь о размерности гильбертова пространства в обоих случаях. В случае $N = 1$ , очевидно, что частица имеет либо спин вверх, либо спин вниз. В случае $N = 2$ , однако у вас должно быть гильбертово пространство размерности $4$ , с $2^2 = 4$ . Но из-за принципа запрета Паули обе частицы не могут иметь одинаковое спиновое состояние. Они не могут одновременно вращаться вверх или вниз, потому что это нарушило бы принцип запрета Паули.

Однако это по-прежнему оставляет вам два возможных состояния, а именно $|+\rangle|-\rangle$ и $|-\rangle|+\rangle$ . Я не понимаю, как именно ваш профессор находит размерность один для этого гильбертова пространства, как сумму этих состояний $\frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle|-\rangle + |-\rangle|+\rangle)$ также является приемлемым решением (линейные комбинации возникают, потому что вам нужны собственные состояния разных операторов). Разница между ними заключается в том, что если вы возьмете разницу, вы обнаружите, что общее вращение $S = 0$ , и когда вы берете сумму, у вас есть общий спин $S = 1$ (общее вращение не то же самое, что «вращение вверх» или «вращение вниз»). Вы могли бы хотеть спросить своего профессора о такой возможности.

тл; Д.Р.: Принцип исключения Паули исключает определенные состояния, что уменьшает размерность вашего векторного пространства.

ОТРЕДАКТИРОВАНО: $\frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle|-\rangle + |-\rangle|+\rangle)$ состояние симметрично и поэтому исключено из-за статистики Ферми-Дирака. Спасибо fqq и Phoenix87 за то, что заметили это

«Это делает ваш аргумент о занятии самых низких энергетических уровней несколько избыточным, поскольку существует только один энергетический уровень». Не обязательно, поскольку гамильтониан не указан.
Двухэлектронное состояние должно быть антисимметричным, поэтому симметричное состояние не является «приемлемым решением».
@ Барт В. Спасибо за ответ. Теперь мне немного понятнее.

Размерность гильбертова пространства спина 1/21/21/2 одинаковых частиц?

Камиль

Феникс87

Ответы (1)

Барт В.

fqq

fqq

Камиль

Как возможна квантовая (интернет) сеть?

Как интерпретируется нулевая вероятность в физике?

Полуцелый угловой момент

Введение Quantum, проблема с этим граничным условием и потенциалом

Каковы самые сильные возражения против декогеренции как объяснения «коллапса»?

О нелокальности КМ и сверхсветовых/обратных во времени машинах

Что означает когерентная суперпозиция?

Волновое поведение частиц [дубликат]

В чем физический смысл возбуждения одноэлектронного перехода в многоэлектронной системе?

Почему коммутативность означает, что две наблюдаемые могут быть измерены вместе?