Галилеево ковариантность уравнения Шрёдингера

Свободное уравнение Шрёдингера

Повышение Галилея — это преобразования, которые смотрят на систему с точки зрения наблюдателя, движущегося с постоянной скоростью.$-v$. Буст должен изменить физические свойства волнового пакета так же, как в классической механике:

$$p' = p + mv$$

$$x' = x + vt$$

так что фазовый фактор свободной плоской волны Шредингера:

$$px - Et = (p' - mv)(x' - vt) - \frac{(p' - mv)^2}{2m} t = p'x' + E't - mvx' + \frac{mv^2}{2} t$$

отличается в усиленных координатах только фазой, которая зависит от$x'$и$t$, но не на$p$.

Произвольная суперпозиция плоских волновых решений с различными значениями$p$представляет собой ту же суперпозицию усиленных плоских волн, вплоть до общего$x,t$зависимый фазовый фактор. Таким образом, любое решение свободного уравнения Шредингера$\psi_t(x)$может быть преобразован в другие решения:

$$\psi'_t(x) = \psi_t(x + vt) e^{imvx - i \frac{mv^2}{2}t}$$

Повышение постоянной волновой функции дает плоскую волну. В более общем смысле усиление плоской волны:

$$\psi_t(x) = e^{ipx - i \frac{p^2}{2m}t}$$

создает усиленную волну:

$$\psi'_t(x) = e^{ip(x+vt) - i\frac{p^2}{2m}t + imvx - i\frac{mv^2}{2}t} = e^{i(p+mv)x + i\frac{(p+mv)^2}{2m}t}$$

Хозяин распространяющегося гауссовского волнового пакета:

$$\psi_t(x) = \frac{1}{\sqrt{a + it/m}} e^{-\frac{x^2}{2a}}$$

производит движущуюся гауссиану:

$$\psi'_t(x) = \frac{1}{\sqrt{a + it/m}} e^{-\frac{(x+vt)^2}{2a} + imvxx - i\frac{mv^2}{2}t}$$

который распространяется таким же образом.

Операторный формализм

Галилеева симметрия требует, чтобы$H(p)$квадратичен в$p$как в классическом, так и в квантовом гамильтоновом формализме. Чтобы бустинг Галилея производил$p$-независимый фазовый фактор,$px - Ht$должны иметь совершенно особую форму - переводы в$p$необходимо компенсировать сдвигом$H$. Это верно только тогда, когда$H$является квадратичным.

Инфинитезимальный генератор бустов как в классическом, так и в квантовом случае есть

$$B = \sum_i m_i x_i(t) - t \sum_i p_i$$

где сумма по различным частицам, и$B$,$x$,$p$являются векторами.

Скобка Пуассона / коммутатор$B\cdot v$с$x$и$p$генерировать бесконечно малые повышения, с$v$инфитезимальный вектор скорости наддува:

$$[B \cdot v, x_i] = vt$$

$$[B \cdot v, p_i] = v m_i$$

Повторить эти отношения просто, так как они добавляют постоянную сумму на каждом шаге. Путем итерации$dv$s постепенно суммировать до конечной величины$V$:

$$x \rightarrow x_i + Vt$$ $$p \rightarrow p_i + m_i V$$

$B$деленная на общую массу, представляет собой текущее положение центра масс минус время, умноженное на скорость центра масс:

$$B = M X_\text{cm} - t P_\text{cm}$$

Другими словами,$B/M$является текущим предположением о положении центра масс в нулевое время.

Заявление о том, что$B$не меняется со временем — это теорема о центре масс. Для инвариантной системы Галилея центр масс движется с постоянной скоростью, а полная кинетическая энергия представляет собой сумму кинетической энергии центра масс и кинетической энергии, измеренной относительно центра масс.

С$B$явно зависит от времени,$H$не ездит с$B$, скорее:

$$\frac{dB}{dt} = [H,B] + \frac{\partial B}{\partial t} = 0$$

Это дает закон преобразования для$H$при бесконечно малых повышениях:

$$[B \cdot v, H] = - P_\text{cm} v$$

Интерпретация этой формулы заключается в том, что изменение$H$при бесконечно малом ускорении полностью определяется изменением кинетической энергии центра масс, которая является скалярным произведением полного импульса на бесконечно малую скорость ускорения.

Две величины$(H,P)$образуют представление группы Галилея с центральным зарядом$M$, где только$H$и$P$являются классическими функциями в фазовом пространстве или квантово-механическими операторами, а$M$является параметром. Закон преобразования для бесконечно малого$v$:

$$P' = P + Mv$$ $$H' = H - P\dot{v}$$

можно повторять как и раньше -$P$идет от$P$к$P + MV$с бесконечно малыми приращениями$v$, пока$H$изменяется на каждом шаге на величину, пропорциональную$P$, которая изменяется линейно. Окончательное значение$H$затем изменяется на значение$P$на полпути между начальным значением и конечным значением:

$$H' = H - (P + \frac{MV}{2}) \cdot V = H - P \cdot V - \frac{MV^2}{2}$$

Коэффициенты, пропорциональные центральному заряду$M$являются дополнительными фазами волновой функции.

Бусты дают слишком много информации в случае одной частицы, поскольку галилеева симметрия полностью определяет движение отдельной частицы. Учитывая многочастичное зависящее от времени решение:

$$\psi_t(x_1, x_2, ..., x_n)$$

с потенциалом, который зависит только от относительного положения частиц, его можно использовать для создания усиленного решения:

$$\psi'_t = \psi_t(x_1 + vt,...,x_n + vt) e^{i P_\text{cm} \cdot X_\text{cm} - \frac{M v_\text{cm}^2}{2}t}$$

В задаче о стоячей волне движение центра масс просто добавляет общую фазу. При решении энергетических уровней многочастичных систем инвариантность Галилея позволяет игнорировать движение центра масс.

Свободная волна Шрёдингера имеет вид

$$\psi = N e^{i(\omega t - kx)} ~.$$ Преобразование Галилея превращает это в $$\psi = N e^{i(\omega t' - k(x'+vt'))} = e^{i((\omega -kv) t' - kx')} ~.$$ Так $$\omega' = \omega - kv$$ и $$k'=k ~.$$ Вывод состоит в том, что уравнение Шрёдингера не является ковариантным относительно преобразований Галилея.

Уравнение ковариантно относительно так называемой группы Шредингера. Однако некоторые операции в этой группе не являются преобразованиями координат, так как зависят от массы частицы. Статья в Википедии этой группы непрозрачна. См. мою заявку на arxiv.org https://arxiv.org/abs/quant-ph/0403013 .

Я хотел бы внести свой вклад с аналогичным ответом, который следует за оригинальной статьей Баргмана о проективных представлениях.

Подход Баргманна: в этом контексте мы имеем в виду$x,v,a$векторов и по$R$матрица вращения. Рассмотрим уравнение Шредингера в трех измерениях:

$$\begin{equation} i \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t}+\frac{1}{2m} \Delta \psi(x,t)= V \psi(x,t). \end{equation}$$ Давайте посмотрим на то же состояние из другой системы отсчета, которая задается преобразованиями Галилея следующим образом: $$\begin{equation}\label{Galilei}\tag{1}x'^{j}= \sum_{k=1}^3 \limits R^{jk}x^k+v^jt+a^j;\end{equation}$$ $$\begin{equation}\label{Galilei1}\tag{2} t'=t+b. \end{equation}$$

В приведенных выше преобразованиях$R$есть вращения, есть$3$из них по каждой оси,$v$представляет галилеевские бусты, которые также$3$,$a$представляет собой переводы в пространстве. Поскольку мы предполагаем, что пространство$3$-мерный, есть 3 перевода$a$. Наконец, есть один перенос во времени, параметризованный$b$. Таким образом, мы обнаружили, что группа Галилея является$10$-мерная группа Ли. В дальнейшем мы хотим, чтобы наша квантовая теория была инвариантной относительно этой группы симметрии, поэтому мы должны представить ее в гильбертовом пространстве. Два физических состояния эквивалентны, если соответствующие волновые функции равны с точностью до фазы. Это означает, что мы рассматриваем проективные представления группы Галилея в гильбертовом пространстве. Это также чрезвычайно важно, потому что это говорит нам о том, что если мы хотим, чтобы ковариация Галилея была удовлетворена, мы должны иметь комплексные волновые функции . Это не выбор описания, как в электродинамике. Записывая это явно, мы имеем:

$$\begin{equation}\tag{2}\label{phase} \psi(x,t)=e^{if(x',t')} \psi'(x',t'). \end{equation}$$ где$(x',t')$зависит от$(x,t)$в соответствии с $\ref{Galilei}$, $\ref{Galilei1}$. Мы знаем это$\psi$удовлетворяет уравнению Шрёдингера. Мы хотим определить$f$такой, что$\psi'(x',t')$тоже удовлетворяет: $$\begin{equation}\tag{3}\label{schrodingertransformed} i \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t}+ \frac{1}{2m} \Delta \psi(x,t)= V \psi(x,t). \end{equation}$$ С$f(x',t')$пока неизвестно, это ограничение, а именно ковариация, должно его определять. Давайте посмотрим, как мы могли бы переписать приведенное выше уравнение в терминах$x',t'$. Для этого сначала рассмотрим преобразования координат. Они подразумевают следующую замену частных производных: $$\begin{equation}\tag{4}\label{galileiderivative} \begin{aligned} \nabla_i= \frac{\partial}{\partial x^i}&=\sum_{j=1}^{3} \limits\underbrace{\frac{\partial x^{'j}}{\partial x^i}}_{=R^{ji}} \frac{ \partial}{\partial x^{'j}}+ \underbrace{\frac{ \partial t'}{\partial x^i}}_{=0} \frac{\partial}{\partial t'}=\sum_{j=1}^{3} \limits R_{ji} \frac{\partial}{\partial x^{'j}}=\sum_{j=1}^{3} \limits (R_{ij})^{T} \frac{\partial}{\partial x^{'j}}:=R^{-1} \nabla_i ' ;\\ \frac{\partial}{\partial t}&=\sum_{i=1}^{3}\underbrace{\frac{\partial x^{'i}}{\partial t}}_{=v^i} \frac{\partial}{\partial x^{'i}}+ \underbrace{\frac{\partial t'}{\partial t}}_{=1} \frac{\partial}{\partial t'}=\sum_{i=1}^{3} \limits v^i \frac{\partial}{\partial x{'i}}+ \frac{\partial}{\partial t'}:= v \cdot \nabla ' + \frac{\partial}{\partial t'}. \end{aligned} \end{equation}$$ Мы также знаем, что лапласиан вращательно инвариантен. Поскольку единственная часть преобразования координат для$x'$, который содержит$x$является вращательной частью, можно заключить, что лапласиан инвариантен и относительно преобразований Галилея. Таким образом, мы приходим к следующему уравнению: $$\begin{equation} \left( i \frac{\partial}{\partial t'} +i v \cdot \nabla ' +\frac{1}{2m} \Delta ' - V\right) \left( e^{i f(x',t')} \psi'(x',t') \right). \end{equation}$$ Прежде чем мы применим правило произведения, давайте вспомним тождество векторного исчисления, которое даст нам дополнительный «неинтуитивный» термин: $$\begin{equation} \Delta(f_1 f_2)=(\Delta f_1) f_2+ f_1 (\Delta f_2)+2 (\nabla f_1) \cdot (\nabla f_2). \end{equation}$$ Чтобы расширить это, мы должны использовать правило продукта: $$\begin{equation*} i \underbrace{\frac{\partial}{\partial t'} \left(e^{if(x',t')} \right)}_{=i \frac{\partial{f(x',t')}}{\partial t'} e^{if(x',t')}} \psi'(x',t') +i e^{if(x',t')} \frac{\partial}{\partial t'} \psi'(x',t') + i\underbrace{(v \cdot \nabla') \left(e^{if(x',t')} \right)}_{=(iv \cdot \nabla ' f(x',t')) e^{if(x',t')}} \psi'(x',t')+ie^{if(x',t')} (v \cdot \nabla ')(\psi'(x',t')) \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} +\frac{1}{2m}\left( \underbrace{\Delta' e^{if(x',t')}}_{\text{term 1}} \right) \psi'(x',t') +\frac{1}{2m}e^{if(x',t')} ( \Delta' \psi'(x',t'))+\frac{2}{2m}\left(\underbrace{\nabla' e^{if(x',t')}}_{=(i \nabla' f(x',t'))e^{if(x',t')}} \right) \cdot (\nabla ' \psi'(x',t')) -V e^{if(x',t')} \psi'(x',t')=0. \end{equation*}$$ С 1 термом у нас еще много работы. Давайте вычислим это явно: $$\begin{equation*} \Delta ' e^{if(x',t')}= \nabla' \cdot \left( \nabla ' e^{if(x',t')} \right)= \nabla' \cdot \left( e^{if(x',t')} (i \nabla ' f(x',t')) \right) \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} = e^{if(x',t')} \nabla'\cdot (i \nabla' f(x',t'))+ i \underbrace{\left(\nabla ' e^{if(x',t')} \right)}_{= (i \nabla' f(x',t'))e^{i f(x',t')}} \cdot \nabla' f(x',t') \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} =i \left(\nabla'^2 f(x',t') \right) e^{if(x',t')} +i \nabla ' f(x',t') (i \nabla' f(x',t'))e^{if(x',t')} \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} =\left(i \nabla^{'2} f(x',t')-\left(\nabla ' f(x',t') \right)^2 \right) e^{if(x',t')}. \end{equation*}$$ Итак, мы можем упростить наше выражение после правила произведения следующим образом: $$\begin{equation*} \begin{aligned} & \underbrace{-\frac{\partial f(x',t')}{\partial t'} e^{if(x',t')} \psi'(x',t')}_{1} + \underbrace{ie^{if(x',t')} \frac{\partial \psi'(x',t')}{\partial t'}}_{3}-\underbrace{v \cdot (\nabla' f(x',t'))e^{if(x',t')} \psi'(x',t')}_{1}+\underbrace{e^{if(x',t')}(iv \cdot \nabla ') (\psi'(x',t')}_{2}\\ & +\underbrace{\frac{1}{2m} \left(i \nabla'^2 f(x',t') - \left(\nabla' f(x',t')\right)^2 \right)e^{if(x',t')} \psi'(x',t')}_{1}+ \underbrace{\frac{1}{2m} e^{if(x',t')}\left(( \Delta' \psi'(x',t') \right) -V e^{-if(x',t')} \psi'(x',t')}_{3} \\ &+ \underbrace{\frac{1}{m}\left( i \nabla' f(x',t') \right) e^{if(x',t')} \cdot (\nabla ' \psi'(x',t'))}_{2}=0. \end{aligned} \end{equation*}$$ Перегруппировка терминов в группы$1,2,3$дает: $$\begin{equation*} \left(\underbrace{-\frac{\partial f(x',t')}{\partial t'}+\frac{i}{2m} \nabla^{'2}f(x',t')- \frac{1}{2m}\left(\nabla' f(x',t') \right)^2 -v \cdot \nabla' f(x',t')}_{\text{condition 1}}\right) e^{i f(x',t')} \psi'(x',t') \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} + i\left(\underbrace{v +\frac{1}{m} \nabla' f(x',t')}_{\text{condition 2}} \right)e^{if(x',t')} \cdot \left( \nabla ' \psi'(x',t') \right) + e^{if(x',t')}\underbrace{\left( i\frac{ \partial}{\partial t'}+\frac{1}{2m} \Delta '-V \right) \psi'(x',t')}_{\text{Schrödinger}}=0. \end{equation*}$$ Последняя часть представляет собой уравнение Шредингера для$\psi'(x',t')$. Итак, мы хотим убрать все остальные члены, чтобы это было равно 0 в правой части, чтобы гарантировать ковариацию. Получаем следующие условия на$f$для обеспечения ковариации: $$\begin{equation}\label{conditions1} \tag{4} v+\frac{1}{m} \nabla ' f(x',t')=0 ; \end{equation}$$

$$\begin{equation}\label{conditions2} \tag{5} - \frac{\partial f(x',t')}{\partial t'}+\frac{i}{2m}\nabla^{'2}f(x',t')- \frac{1}{2m}\left(\nabla' f(x',t') \right)^2 -v \nabla' f(x',t')=0. \end{equation}$$ Вышеупомянутая система может быть легко интегрирована для получения: $$\begin{equation} f(x',t')=-mv \cdot x'+\frac{1}{2}mv^2 t' + C. \end{equation}$$ Чтобы убедиться, что это действительно так, подставим обратно в $\ref{conditions1}$, $\ref{conditions2}$. Для этого вычислите все объекты, фигурирующие в условиях: $$\begin{equation} \nabla' f(x',t')=-mv; \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{\partial f(x',t')}{\partial t'}=\frac{1}{2}mv^2; \end{equation}$$ $$\begin{equation} \nabla^{'2}f(x',t')=0. \end{equation}$$ Таким образом, мы имеем: $$\begin{equation*} v+\frac{1}{m}(-mv)=v+(-v)=v-v=0. \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} -\frac{1}{2} mv^2+\underbrace{\frac{-i}{2m}0}_{=0}-\underbrace{\frac{1}{2m} m^2 v^2}_{=\frac{1}{2} mv^2} - \underbrace{v(-mv)}_{=mv^2}=0 \implies -\frac{1}{2} mv^2 -\frac{1}{2} mv^2 + mv^2=0 \implies 0=0. \end{equation*}$$ Это показывает, что указанная выше функция$f(x',t')$решает система. Таким образом, волновые функции преобразуются при преобразовании Галилея как: $$\begin{equation} \psi(x,t)=e^{i f(x',t')}\psi'(x',t') \implies \psi'(x',t')=e^{-if(x',t')} \psi(x,t). \end{equation}$$ Выписывание$f(x',t')$явно: $$\begin{equation}\label{representation} \psi'(x',t')=e^{i \left( mv \cdot x' - \frac{1}{2}mv^2t'+C \right)} \psi(x,t). \end{equation}$$ Или эквивалентно: $$\begin{equation}\label{representation1} \psi'(Rx+vt+a,t+b)= e^{i \left(mv \cdot (Rx+vt+a)- \frac{1}{2} mv^2(t+b) +C \right)} \psi(x,t). \end{equation}$$ Поскольку мы вывели наиболее общий случай, давайте обсудим примеры из учебника. Один широко известный пример из учебника, например, тот, который обсуждался Мерцбахером в его книге по квантовой механике, - это галилеева буст-инвариантность. Для этого мы должны установить$R=1,a=b=0$: $$\begin{equation} \psi'(x+vt,t)=e^{i \left( mv \cdot(x+vt) - \frac{1}{2} mv^2t \right)} \psi(x,t). \end{equation}$$ Или явно, как это показано в книге: $$\begin{equation} \psi'(x,t)=e^{im \left( v \cdot x - \frac{1}{2}v^2t \right)} \psi(x-vt,t). \end{equation}$$

Использованная литература:

1. Валентин Баргманн, Об унитарных лучевых представлениях непрерывных групп , Анналы математики, 1954.

2. Ойген Мерцбахер, Квантовая механика , третье издание

Особая благодарность Вальтеру Моретти , который помог мне обнаружить ошибку в моих вычислениях тогда, когда я делал это, и изо всех сил пытался получить эквивалентность результатов.