Наивная интерпретация галилеевой инвариантности TDSE

Сегодня кто-то умнее меня сказал мне, что зависящее от времени уравнение Шредингера в одном измерении инвариантно относительно преобразования Галилея ( Икс , т ) , а именно под

(1) { Икс ′ "=" Икс + ты т т ′ "=" т .

Чтобы проверить это, я посмотрел на зависящее от времени уравнение Шрёдингера для свободной частицы.

(2) я ℏ ∂ ψ ∂ т "=" − ℏ 2 2 м ∂ 2 ψ ∂ Икс 2

Вычисление преобразования дифференциальных операторов по цепному правилу:

{ ∂ ∂ Икс "=" ∂ т ′ ∂ Икс ∂ ∂ т ′ + ∂ Икс ′ ∂ Икс ∂ ∂ Икс ′ "=" ∂ ∂ Икс ′ ∂ ∂ т "=" ∂ т ′ ∂ т ∂ ∂ т ′ + ∂ Икс ′ ∂ т ∂ ∂ Икс ′ "=" ∂ ∂ т ′ + ты ∂ ∂ Икс ′

и подключаем все это обратно ( 2 ) дает TDSE в относительно инерциальной системе отсчета ( Икс ′ , т ′ ) .

(3) я ℏ ( ∂ ψ ∂ т ′ + ты ∂ ψ ∂ Икс ′ ) "=" − ℏ 2 2 м ∂ 2 ψ ∂ Икс ′ 2

Это будет означать, что есть какой-то дополнительный термин, например я ℏ ты ∂ ψ ∂ Икс ′ в уравнении, представляющем асимметрию при ( 1 ) . Мы имеем, что упомянутый член не равен нулю (поскольку это означало бы, что волновая функция не зависит от пространства в относительной системе отсчета, что явно не так). Я явно что-то не так понял - это ( 2 ) не галилеев инвариант в конце концов?

хороший вопрос - интересно, не инвариантен ли зависящий от времени, но не зависящий от времени SE.
Возможные дубликаты: physics.stackexchange.com/q/56024/2451 и ссылки там.
@tom Независимость от времени, безусловно, инвариантна при использовании этого анализа, поскольку асимметрия исходит из ∂ ∂ т и, конечно же, бесплатная ТИСЭ зависит только от ∂ ∂ Икс .
Вам нужно преобразовать ψ а также получить уравнение Шрёдингера с точки зрения заштрихованного репера.

Ответы (1)

В своем выводе вы неявно предположили, что волновая функция не меняет своих значений, когда вы переходите к усиленному кадру Галилея. Другими словами, вы предположили ψ ′ ( Икс ′ , т ′ ) "=" ψ ( Икс ( Икс ′ , т ′ ) , т ( Икс ′ , т ′ ) ) . Однако это неправильно.

Волновая функция кодирует информацию об импульсе частицы, поэтому, когда вы переходите к другому кадру, волновая функция должна измениться, чтобы представить импульс, который имеет частица в новом кадре. Например, в случае плоской волны ψ ( Икс , т ) "=" е я ( к Икс − ю т ) . Когда вы увеличиваете скорость ты , волны к , ю должны измениться, чтобы соответствовать новому импульсу и энергии, например к ′ "=" к + м ты / ℏ и ю ′ "=" ℏ к ′ 2 / 2 м . Так что это уже не та функция; у него другая длина волны и частота, помимо простого изменения координат.

Другими словами, уравнение Шрёдингера является галилео-инвариантным не в том смысле, что одно и то же решение работает после ускорения, а в том смысле, что существуют решения, представляющие волны, движущиеся с разными скоростями. Повышение отображает решение с к , ю к другому решению с к ′ , ю ′ . (А для решений, которые не являются плоскими волнами, мы можем использовать преобразование Фурье, чтобы разложить их на плоские волны, усилить каждую из них и перекомпоновать их.)

Этот аргумент может быть немного неудовлетворительным, поскольку он опирается на физическую интуицию о значении длины волны и частоты, а не на чисто математический вывод. Интересно, сможете ли вы вывести его более строго из каких-то операторно-алгебраических соображений или чего-то в этом роде.

Существуют алгебраические соображения, ведущие к этому результату, но они весьма технические: структура второй группы когомологий алгебры Ли группы Галилея. Знаменитая статья Баргманна 1954 года (кажется) прояснила все на математическом уровне :)
Да, вы можете вывести это в более общем виде. Никаких операторно-алгебраических соображений не требуется. Позволять ψ преобразование с произвольной фазой ψ ′ ( Икс ′ , т ′ ) "=" е я α ( Икс , т ) ψ ( Икс + ты т , т ) . Затем изолировать α ( Икс , т ) настаивая на том, чтобы уравнение Шредингера решалось и в новой системе отсчета. Это должно отменить дополнительный термин в сообщении OP.
Наивная интерпретация галилеевой инвариантности TDSE
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v