Можно ли выполнять математические вычисления в физике, не используя −1−−−√−1\sqrt{-1}?

Использование комплексных чисел никогда не бывает обязательным , но если оно применимо, оно почти всегда более удобно , чем эквивалентное представление в двумерном реальном векторном пространстве (фактически, формальные свойства манипуляций с комплексными числами обычно изучаются по их влиянию на$(a,b) = a+ib.$)

Вы упомянули, что комплексные числа не кажутся необходимыми для классической электродинамики, и я согласен, однако я не могу представить себе здравомыслящего человека, который отказался бы от их использования. На самом деле именно в классическом E&M, я думаю, комплексные числа действительно демонстрируют свою изящность в описании физических явлений.

Точно так же, как упомянул Люршер, существуют формулировки КМ, которые избегают явной ссылки на комплексные числа — они являются эквивалентными математическими представлениями , но манипуляции имеют дополнительную степень учета, которую мы уже заложили в комплексные числа.

И это руб. Комплексные числа — это инструмент для описания теории, а не свойство самой теории. То есть они не могут быть принципиальным различием между классической и квантовой механикой. Настоящая причина различия — некоммутативный характер измерения в КМ. Теперь это свойство может быть захвачено всеми видами зверей — даже матрицами с действительными значениями.

о 2. проверьте этот вопрос об альтернативном формализме для квантовой механики с уравнениями, в которых появляются только реальные плотности вероятности и токи. Соответствующая статья в Википедии посвящена уравнениям Маделунга .

Я не знаю никаких попыток распространить то же самое на QFT. Поскольку сложные вычеты — это масло и хлеб большинства петлевых диаграмм Фейнмана, я сомневаюсь, что это было бы легко или полезно.

Предположим, что основные существительные нашего языка для описания физического мира являются членами групп Ли. Хорошо, это напыщенно звучащее утверждение и несколько произвольное, но мое оправдание состоит в том, что эти объекты описывают все непрерывные симметрии , которые могут быть, и почти каждое разъяснение физики с использованием математики делается либо (1) путем просмотра математического объекта с другой точки зрения (объединение до сих пор, казалось бы, несвязанных концепций) или (2) путем использования симметрии для уменьшения или избавления от избыточной сложности в утверждении. В наших непрерывных многообразных описаниях физического Мира все эти симметрии непрерывны. Итак, где-то в этом списке симметрий мы встречаемся$U(1)$,$SU(2)$,$SO(3)$,$U(N)$и так далее. Таким образом, мы должны были бы выполнять вычисления и упрощения с этими объектами, когда мы используем симметрии проблемы. Решим ли мы выделить такой объект, как:

и дайте ему специальный символ$i$куда$i^2=-1$является «делом вкуса», поэтому в этом смысле использование комплексных чисел не является существенным. Тем не менее, мы должны были бы по-прежнему встречать этот объект и подобные ему, и должны были бы обрабатывать утверждения, включающие такие объекты, при описании физики в непрерывном многообразии — этого нельзя избежать, поскольку это относится к любому полному описанию симметрий Мира. Таким образом, в этом смысле комплексные числа, кватернионы, октонионы и т. д. присутствуют и необходимы для такого описания. Заметьте, что комплексные числа и их алгебра знакомы почти всем физикам, кватернионы — несколько меньшему количеству физиков, а октонионы — не столь многим. Это просто связано с тем, как часто возникают соответствующие вычисления симметрии: почти любая интересная непрерывная симметрия включает объекты группы Ли, для которых$i^2=-1$и поэтому мы выделяем их и применяем все правила их алгебры, чтобы не допустить, чтобы мы стали откровенно жалкими и отправленными в сумасшедшие дома, постоянно записывая их полные теоретические представления Лжи. Выделение кватернионов и выполнение тех же действий экономит часть работы, но не так много, потому что кватернионы имеют меньшее количество симметрий. К тому времени, когда мы добираемся до октонионов, симметрии, в которых они возникают, встречаются довольно редко, так что не многие из нас очень хорошо разбираются в их специальной алгебре (включая меня): мы можем выполнять полные вычисления матрицы/Ли без особых усилий, потому что мы делаем их не так часто, поэтому мы не так легко замечаем их октонионность.

Сноска: можно считать, что «члены группы Ли» и «непрерывные симметрии» совпадают на основании:

1. Решение пятой проблемы Гильберта Монтгомери, Глисоном и Циппином, т.е. нам не нужно ни понятие многообразия, ни понятие аналитичности ($C^\omega$) — эти «строятся» из основной идеи непрерывной топологической группы;
2. Классификация всех алгебр Ли Вильгельма Киллинга (который видел, что может это сделать, но немного напортачил с доказательством) и великого Эли Картана — так мы знаем, как выглядят все непрерывные симметрии. Как только мы классифицировали все алгебры Ли, мы можем найти все возможные группы Ли, поскольку каждая группа Ли имеет алгебру Ли, каждая алгебра Ли может быть возведена в степень в группу Ли ( например , через матричную экспоненту, поскольку каждая алгебра Ли может быть представлена ​​как также известны матричная алгебра Ли (теорема Адо)) и (глобально-топологические) отношения между группами Ли, которые имеют одну и ту же алгебру Ли.

Квантовая механика обязательно нуждается в комплексных числах. Замена комплексных чисел вещественными числами возможна, но это скроет большую часть структуры и является чисто математическим трюком.

амплитуда Фейнмана$e^{i S}$, или коммутационное соотношение указывает на то, что происходит что-то глубокое, и это нельзя понять, рассматривая их как 2 действительных числа.

Фейнман говорил о квантовой механике как о сложном расширении классической теории вероятностей.

видеть

пространственно-временной подход к нерелятивистской квантовой механике и

Концепция вероятности в квантовой механике ( ссылка )

Удачи в попытке сделать теорию цепей переменного тока без комплексных чисел - и это чисто классическая физика/техника. Большая часть моей работы зависит от теории цепей и понятия комплексного импеданса. Я не буду категорично утверждать, что теорию цепей нельзя сделать чисто в действительных числах, но я никогда этого не видел. Может быть, примеры можно найти в литературе 19 века. Время от времени я пытался решить простые задачи, используя только действительные числа, и заканчивал тем, что бросал с отвращением.

Сложная арифметика работает так хорошо, зачем ее избегать?

Чтобы ответить на часть 2 вашего вопроса: для квантовой механики комплексные числа не только облегчают процесс вывода. Фактически, если две реальные величины объединяются в QM для образования комплексной величины, это делается для того, чтобы подчеркнуть, что эти две величины не могут быть измерены одновременно, см. также мой ответ здесь: https://physics.stackexchange.com/a/83219/ 1648 .

Таким образом, в этом смысле комплексные величины являются важным компонентом квантовой механики (где не все можно измерить одновременно), но не классической механики (где одновременные измерения не являются проблемой).

Комплексные числа имеют две операции: сложение и умножение.

Если бы вы собирались просто складывать, они складываются как векторы, поэтому вы, вероятно, просто использовали бы векторы (хотя иногда сумма 2D-векторов может в сложной нотации выглядеть как геометрическая последовательность, поэтому ее легче складывать, даже если вы могли бы сделать это без умножения ).

Если бы вы собирались просто умножать, то, возможно, вы бы просто использовали повороты, поскольку они действуют именно так. И это также проблема избежать их. На плоскости половина полного оборота — это то же самое, что умножение на -1, поэтому два квадратных корня — это две четверти оборота. Если иногда вы масштабируете, а иногда вращаете, а иногда перемещаете в плоскости, а иногда делаете кучу одного за другим, то, вероятно, у вас есть что-то, что действует точно так же, как комплексные числа, поэтому вы можете просто выучить это один раз и использовать. везде, чтобы вы не изучали кучу отдельных вещей, которые действуют одинаково и имеют разные имена и обозначения.

Однако, если вам нужно делать все то же самое в более высоких измерениях, то, возможно, вы захотите изучить хорошие способы сделать это в общем nD, а затем вы можете делать это в 2D в качестве особых случаев. В 2D много случайностей, поэтому не все в 2D обобщается.