Преобразование Фурье реальной начальной волновой функции

Рассмотрим начальную волновую функцию, заданную выражением:

Ψ ( Икс , 0 ) "=" грех ⁡ ( к 0 Икс ) .

Меня учили, что для эволюции волнового пакета во времени нужно сначала найти представление волновой функции в импульсном пространстве, определяемое формулой:

Φ ( к ) "=" 1 2 π ∫ − ∞ ∞ Ψ ( Икс , 0 ) е − я к Икс г Икс .
Тогда эволюция во времени дается интегралом по этой волновой функции импульсного пространства.

При вычислении этого я получил следующий результат:

Φ ( к ) "=" 1 2 π ∫ − ∞ ∞ грех ⁡ ( к 0 Икс ) е − я к Икс г Икс .
Используя это грех ⁡ ( к 0 Икс ) "=" ℑ ( е я к Икс ) мы получаем:
Φ ( к ) "=" 1 2 π ℑ ( ∫ − ∞ ∞ е я ( к 0 − к ) Икс г Икс ) .
Мы можем распознать интеграл как дельта-функцию:
Φ ( к ) "=" 1 2 π ℑ ( дельта ( к 0 − к ) )
Но поскольку дельта-функция действительна, мы получаем, что Φ ( к ) "=" 0 . Итак, что здесь было не так? Конечно Φ не может быть нулем, так как волновая функция положения отлична от нуля, так что же я сделал не так?

Ответы (1)

Ваша проблема, насколько я понимаю, заключается в простой расчетной ошибке: хотя вы правы в том, что грех ⁡ ( к 0 Икс ) "=" я ( е я к 0 Икс ) , из этого не следует

я ( е я ( к 0 − к ) Икс ) "=" грех ⁡ ( к 0 Икс ) е я к Икс (Неправильный!) ,
как вы должны быстро увидеть, поскольку левая часть должна быть реальной, а правая часть имеет мнимую часть.

Однако вы можете использовать очень похожий прием, чтобы найти волновую функцию импульсного пространства, поняв, что

грех ⁡ ( к 0 Икс ) "=" е я к 0 Икс − е − я к 0 Икс 2 я ,
из которого можно использовать определение дельта − функция, чтобы показать, что
Φ ( к ) "=" дельта ( к 0 − к ) + дельта ( к 0 + к ) ,
представляющий собой суперпозицию плоских волн, движущихся влево и вправо с одинаковым импульсом к 0 .

Примечание: хотя это не является существенным для вашего вопроса, когда вы хотите найти временную эволюцию волновой функции, вы действительно хотите выразить ее как линейную комбинацию собственных состояний энергии, а не собственных состояний импульса. В этом случае, поскольку я предполагаю, что вы говорите о свободной частице, вы можете найти основу собственных состояний импульса, которые также являются собственными состояниями энергии, но в более общих задачах это определенно невозможно. Я предполагаю, что этот подход связан с Гриффитсом, и я нахожу, что поначалу он сбивает с толку многих студентов.

Спасибо! Это была неуместная ошибка, я просто слишком привык брать Im и Re из интегралов, если подынтегральная функция является произведением двух функций. Не принял во внимание тот факт, что экспонента была сложной! Что касается последней части вашего вопроса, я предполагаю, что вы имеете в виду, что поиск представления импульса таким образом применяется только для свободных частиц, но для общего случая собственные энергетические состояния — это путь, верно?
Да, верно.
Преобразование Фурье реальной начальной волновой функции
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v