Почему призмы работают (почему преломление зависит от частоты)?

Лоренц предложил прекрасную модель взаимодействия света с материей, которая весьма эффективно описывает дисперсию. Если предположить, что электрон колеблется вокруг некоторого положения равновесия и приводится в движение внешним электрическим полем$\mathbf{E}$(т. е. света), его движение можно описать уравнением

Если предположить, что падающий свет монохроматичен,$\mathbf{E} = \mathbf{E}_0e^{-i\omega t}$и предполагаем аналогичный ответ$\xi$, мы получаем

Существует еще один возможный подход к этому, использующий импульсный метод, который предполагает, что диэлектрическая поляризация задается сверткой

Простое объяснение, данное в «Концептуальной физике» Хьюитта, состоит в том, что атомы в конденсированном веществе имеют высокочастотный резонанс, а показатель преломления для большинства веществ самый сильный в синей части спектра, потому что это высокочастотная часть спектра, которая ближе всего к резонанс. Ниже я попытаюсь конкретизировать это с помощью немного более серьезной физики. Кажется, в нем есть часть правды, но в некотором смысле это грубо или неправильно.

Kitamura 2007 дает сводку экспериментальных данных для кварцевого стекла в широком диапазоне длин волн, а также физическую интерпретацию. График выше перерисован с Китамуры. Что наблюдается, так это то, что комплексный показатель преломления имеет три заметных резонанса с формой, которую, я думаю, называют лоренцевской. При каждом резонансе действительная часть$n$колеблется низко, а затем высоко, а мнимая часть имеет пик, указывающий на поглощение. Они связывают каждый из этих резонансов с одним или несколькими качественно различными физическими явлениями. Видимый спектр лежит между резонансами около 0,1$\mu$м и 9$\mu$м. Первое объясняется «взаимодействием с электронами, поглощением примесями, наличием ОН-групп и точечных дефектов», второе — «асимметричным валентным колебанием мостиков Si-O-Si».

Хотя все это довольно сложно, я думаю, что есть довольно простая физика, которую можно извлечь.

В видимой области похоже, что уменьшение показателя преломления с длиной волны связано с комбинацией двух эффектов. Эта область графика имеет отрицательный наклон от 0,1$\mu$м резонанс слева от него, а также отрицательный наклон от 9$\mu$м справа. Это универсальное свойство любой функции, образованной сложением множества узких лоренцевских резонансов: вдали от резонансов она всегда имеет отрицательный наклон. Кажется, что больший вклад в наклон вносит резонанс слева, что согласуется с объяснением Хьюитта.

Китамура упоминает несколько моделей, объясняющих резонансы, и единственная из них, с которой я знаком, называется моделью Лоренца. В модели Лоренца вы принимаете электрон за гармонический осциллятор, как небольшую массу, связанную пружиной с ядром. Смещение этого управляемого гармонического осциллятора (представленное как комплексное число, включающее его фазу) является лоренцевской$x=Af(\omega)$, куда$f(\omega)= (\omega^2+i\gamma \omega-\omega_0^2)^{-1}$а также$A=(e/m)E$. Поскольку электроны совершают эти колебания в ответ на плоскую волну, они генерируют свою собственную когерентную плоскую волну. На самом деле наблюдается суперпозиция этой волны с падающей волной. Эта суперпозиция состоит из двух частей: отраженной волны и прошедшей. В пределе среды с низкой плотностью (например, газа) показатель преломления определяется выражением$n^2=1-\omega_p^2 f(\omega)$, куда$\omega_p$, называемая плазменной частотой, определяется выражением$\omega_p^2=Ne^2/m\epsilon_0$, куда$N$- числовая плотность электронов. Плазменная частота имеет$e/m$в нем от амплитуды ведомого гармонического осциллятора, и еще один фактор$e$потому что амплитуда переизлучаемой волны пропорциональна количеству колеблющегося заряда. В случае кварцевого стекла, я думаю, 0,1$\mu$М-резонанс, вероятно, описывается описанным выше механизмом, в то время как другие резонансы математически аналогичны, но связаны с другими эффектами, помимо колебаний связанных электронов. Например, мостики Si-O-Si будут резонировать на более низкой частоте из-за большей инерции ядер по сравнению с электронами.

Интересной особенностью графика является наличие широких плато, и по мере увеличения длины волны каждое плато последовательно выше предыдущего. Это объясняется теорией Лоренца. В пределе отклик ведомого гармонического осциллятора приближается к нулю в пределе$\omega\gg\omega_0$, но приближается к константе (с обращенной фазой) для$\omega\ll\omega_0$. Добавление вкладов от различных резонансов дает наблюдаемую восходящую лестницу.

Является ли частотная зависимость преломления фундаментальным свойством всех волн?

Вышеизложенное, кажется, предполагает, что при взаимодействии электромагнитных волн с веществом происходит какое-то очень универсальное поведение.

Является ли эффект результатом какой-то нелинейности реакции преломляющего материала на электромагнитные поля?

Нет, я думаю, что это в основном линейный отклик управляемого гармонического генератора.

Существуют ли (теоретически) какие-либо материалы, которые имеют практически постоянный, не равный единице показатель преломления (по крайней мере, для видимого спектра)?

Я уверен, что это было бы Святым Граалем для людей, занимающихся оптикой. Насколько мне известно, лучший способ избавиться от дисперсии в реальных устройствах — это объединить два материала, чтобы дисперсия компенсировалась. Кварцевое стекло, по-видимому, имеет относительно постоянную$n$, и это было бы потому, что видимый спектр относительно далек от двух соседних резонансов. Чтобы получить меньшую дисперсию в видимом спектре, я думаю, вам понадобится вещество, в котором резонансная частота стекла равна 0,1.$\mu$м сместился выше.

Китамура, http://www.seas.ucla.edu/~pilon/Publications/AO2007-1.pdf

Я буду махать рукой, рассматривая проблему фотон за раз.

Из эксперимента с двумя щелями мы знаем , что даже отдельные фотоны, падающие на геометрию двойной щели, демонстрируют интерференционную картину, характерную для частоты/энергии фотона и геометрии щелей.

Кристалл можно представить как очень большое количество трехмерных препятствий/щелей (10 ^ 23 молекул в моле дают огромное число даже для одного сантиметра кристалла на пути вашей иллюстрации).

Фотон, попадая на поверхность решетки, находит не две щели, а глубину щелей на всем протяжении. Наблюдаемый эффект разного углового распределения в зависимости от частоты падающего фотона должен быть результатом квантово-механической интерференции фотона, которая должна быть конструктивной в угле преломления, определяемом его частотой и показателем преломления, и разрушительной во всем остальном. , иначе мы бы видели интерференционные полосы (на самом деле мы получаем вторую радугу, но это уже другая история :) , хотя должно быть похоже).

Тогда задача сводится к объяснению частотной зависимости. Я снова помашу рукой и скажу, что чем меньше частота, тем больше расстояния в интерференционной картине волны вероятности; фотон увидит щели решетки иначе

в зависимости от длины волны, как это верно для эксперимента с двумя щелями , поэтому следует ожидать разветвления.

При условии, что электронный и атомный лучи также преломляются, кажется, что это свойство частицы. Скорость и угол отклонения зависят от массы / размера частицы для конкретной среды. Фотон ведет себя как частица в этом эффекте. Масса определяется уравнением де Бройля. :m=hv/c^2, v=частота