Как рассчитать Delta V для облета Луны

Вот как это сделать, используя приблизительную технику залатанного конуса.

The $\Delta V$используя мгновенные (например, химические реактивные двигатели) маневры, можно определить повторным применением этого уравнения, которое просто говорит, что полная энергия является суммой кинетической энергии и потенциальной энергии:

$\mathcal{E}=\frac{v^2}{2}-\frac{\mu}{r}$

куда$\mathcal{E}$- полная энергия на единицу массы объекта или «удельная энергия»,$v$- скорость объекта в текущем положении,$\mu$- GM центрального тела, т.е. гравитационная постоянная Ньютона, умноженная на его массу, и$r$- текущее расстояние от центра центрального тела.

Суть в том, что полная энергия объекта есть константа движения по орбите.

Мы также будем использовать тот факт, что орбиты являются эллипсами, и это уравнение, которое определяет, что постоянная движения от апсид орбиты, т. е. радиусов ближайшей и самой дальней точек орбиты,$r_1$а также$r_2$:

$\mathcal{E}=-{\mu\over r_1+r_2}$

Для траектории эвакуации или схода с траектории эвакуации:

$\mathcal{E}={v_\infty^2\over 2}$

куда$v_\infty$- скорость на бесконечности относительно тела.

Для этой задачи мы определяем:

$\mu_E$= ГМ Земли.
$\mu_M$= ГМ Луны.
$r_E$= радиус низкой околоземной орбиты.
$r_M$= малый радиус орбиты Луны.
$a_M$= большая полуось (средний радиус) орбиты Луны вокруг Земли.

Для простоты будем считать, что орбита Луны круговая, что недалеко от истины.

Используя вышеизложенное, на низкой околоземной орбите имеем для орбитальной скорости$v_{LEO}$:

$-{\mu_E\over 2r_E}=\frac{v_E^2}{2}-\frac{\mu_E}{r_E}$

который дает:

$v_{LEO}=\sqrt{\mu_E\over r_E}$

Переход Гомана от Земли к Луне составляет половину эллиптической орбиты вокруг Земли с перицентром.$r_E$и апоцентр$a_M$. Для скорости$v$в любом радиусе$r$на этой орбите имеем:

$-{\mu_E\over r_E+a_M}=\frac{v^2}{2}-\frac{\mu_E}{r}$

Скорость на этой переходной орбите на радиусе низкой околоземной орбиты, т. е. в ее перицентре, составляет:

$v_p=\sqrt{2a_M \mu_E\over r_E\left(a_M+r_E\right)}$

Тогда скорость ухода с низкой околоземной орбиты на переходную орбиту равна:

$\Delta V_{inject}=v_p-v_{LEO}$

Это все, что вам нужно, чтобы полететь на Луну, что является заголовком вопроса. Хотя вы спрашиваете в теле вопроса, как попасть на окололунную орбиту. Вам нужен еще один маневр и больше топлива, чтобы замедлиться и выйти на орбиту.

Применяя то, что было сделано для НОО, скорость на низкой окололунной орбите$v_{LLO}$является:

$v_{LLO}=\sqrt{\mu_M\over r_M}$

Точно так же скорость Луны на ее орбите вокруг Земли:

$v_M=\sqrt{\mu_E\over a_M}$

Скорость на переходной орбите на радиусе Луны, т.е. в ее апоапсисе, составляет:

$v_a=\sqrt{2r_E \mu_E\over a_M\left(a_M+r_E\right)}$

Скорость относительно Луны при приближении, если бы Луны не было, равна:

$v_\infty=v_M-v_a$

Это дает скорость при приближении, когда Луна находится там, для любого радиуса от Луны:

${v_\infty^2\over 2}=\frac{v^2}{2}-\frac{\mu_M}{r}$

На радиусе низкой лунной орбиты эта скорость равна:

$v_L=\sqrt{\left(v_M-v_a\right)^2+{2\mu_M\over r_M}}$

Для выхода на орбиту нам нужно замедлиться относительно Луны на:

$\Delta V_{insert}=v_L-v_{LLO}$

Общая$\Delta V$затем:

$\Delta V_{total}=v_p-v_{LEO}+v_L-v_{LLO}$

Подставив числа и приняв высоты LEO 200 км и LLO 100 км, мы получим:

$\Delta V_{inject}=3.13\,\mathrm{km\over s}$
$\Delta V_{insert}=0.82\,\mathrm{km\over s}$
$\Delta V_{total}=3.95\,\mathrm{km\over s}$

Это близко к ответу, который вы получаете при полной интеграции, позволяя лунной гравитации начать притягивать космический корабль задолго до того, как он достигнет расстояния до Луны. Это немного увеличивает скорость корабля относительно Луны, увеличивая$\Delta V$немного вставить.

Это прямой перевод, который может быть выполнен в течение нескольких дней. Если вы готовы взять несколько месяцев, есть более низкие$\Delta V$пути, проходящие через обобщенные точки Лагранжа . Вы можете сэкономить на заказе$0.1\,\mathrm{km\over s}$.

---

Поскольку это вики сообщества, мы включим информацию из соответствующей ссылки для облета Луны и возвращения. Траектория миссии выглядит следующим образом:

Что касается значения Delta v:

До TLI космический корабль находится на низкой круговой парковочной орбите вокруг Земли. В этом примере мы приняли высоту парковочной орбиты 185 километров и дельта-v TLI 3150 м/с .

Обратите также внимание, что с этим связана определенная лунная высота.

Перицинтион — ближайшая к Луне точка траектории космического корабля. Для траектории свободного возврата высота в перицинтионе обычно составляет от 100 до 1500 морских миль (от 185 до 2800 км) — см. Диаграмму. Высота перицинтиона в этом примере составляет 1446 километров.

Если бы вы хотели коснуться поверхности Луны, вам нужно было бы настроить параметры. К счастью, для этого достаточно. Переменные, которыми вы можете управлять, включают:

1. скорость, которую вы получаете при сжигании на LEO
2. время, в которое вы это делаете.

Предполагается, что все находится в 2D-плоскости, как на изображении выше. Вещи, которые вам нужно контролировать, чтобы выполнить миссию (и избежать смерти), включают:

1. минимальная высота над Луной
2. место удара на Земле

Я перечисляю их, потому что количество переменных, которыми вы можете управлять, равно количеству переменных, которыми вам нужно управлять. Это доказывает, что любое заданное расстояние полета достижимо, но это также доказывает, что для достижения этого необходимо скорректировать время горения. Таким образом, чтобы приблизиться к Луне ближе, вам нужно будет изменить требования к топливу. Будет ли это больше или меньше, я не знаю.

Вы не можете отправить что-то прямо на орбиту вокруг чего-то без применения некоторого изменения скорости.

Во-первых, топливо, необходимое для выхода на лунную орбиту, и, если уж на то пошло, лунный облет, было хорошо рассчитано. В Википедии есть эти значения, как они были рассчитаны. LEO для LLO требуется дельта V 4,04 км / с. Только для облета Луны потребуется немного меньше. Я не совсем уверен точно, но разница будет меньше, чем дельта V, необходимая для посадки после выхода на эту орбиту, то есть не более 1,6 км/с.

Как вы на самом деле вычислите это, так это найдите скорость вашей НОО-орбиты, а затем найдите такую, чтобы ваша новая орбита едва вышла за пределы Луны после того, как вы совершили свой облет. Это уравнение$v=\sqrt{\mu\left({2\over{r}}-{1\over{a}}\right)}$, как указано в Википедии . Для круговой околоземной орбиты, скажем, 500 км, начальная скорость равна$\sqrt{\frac{\mu}{r}}$, или 7,617 км/с. Скорость в той же точке для лунной орбиты составляет 10,7 км/с. Таким образом, дельта V, необходимая для облета Луны, составляет 10,7-7,617=3,084 км/с.