Физический смысл продвижения перигея

В подразделе Отклонения гравитационного поля Земли от поля однородной сферы статьи Википедии о модели геопотенциала можно увидеть, что$J_2$или квадрупольный момент гравитационного потенциала Земли падает с расстоянием гораздо быстрее, чем монопольный член. В экваториальной плоскости Земли ускорение монопольного и квадрупольного моментов определяется как:

где безразмерное значение Земли$J_2$составляет около 0,0010825 и$R_E$- нормирующий радиус Земли 6378136,3 метра, а стандартный гравитационный параметр Земли$GM_E$составляет около 3,986E+14 м^3/с^2.

Вы можете прочитать немного больше о Земле$J_2$и это влияние на гравитацию на экваторе и полюсах в красивой таблице Дэвида Хаммена .

На поверхности Земли, на экваторе, эти два значения составляют 9,7983 и 0,0159 м/с^2 соответственно, но помните, что они падают с расстоянием как$1/r^2$а также$1/r^4$соответственно тоже.

Таким образом, спутник, вращающийся в экваториальной плоскости Земли по эллиптической орбите, будет «думать», что гравитация Земли в перицентре сильнее, чем в апоапсисе, даже принимая во внимание$1/r^2$в учетную запись.

Поскольку Земля (или любой сплюснутый сфероид) «притягивает сильнее», когда спутник приближается к планете, он как бы плотнее огибает орбиту. Следующий апоцентр наступит чуть позже и продвинется вокруг планеты, как и перицентр.

Вот симуляция Python для спутника на очень эллиптической орбите НОО с высотой перицентра около 400 км и высотой апоцентра около 32 000 км. Я запускал его для Земли в обычном режиме$J_2$, и снова в десять раз больше$J_2$чтобы усилить эффект, чтобы каждая орбита четко продвигалась вперед. В дополнение к продвижению вы можете видеть, что большая полуось немного меньше для большего$J_2$потому что средняя гравитационная сила немного больше.

def deriv(X, t):

    x, v = X.reshape(2, -1)

    acc0  = -GMe * x * ((x**2).sum())**-1.5
    acc2  = -1.5 * GMe * J2 * Re**2 * x * ((x**2).sum())**-2.5

    return np.hstack([v, acc0 + acc2])


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint as ODEint

# David Hammen's nice table https://physics.stackexchange.com/a/141981/83380
# See http://www.iag-aig.org/attach/e354a3264d1e420ea0a9920fe762f2a0/51-groten.pdf
# https://en.wikipedia.org/wiki/Geopotential_model#The_deviations_of_Earth.27s_gravitational_field_from_that_of_a_homogeneous_sphere

GMe = 3.98600418E+14  # m^3 s^-2
J2e = 1.08262545E-03  # unitless
Re  = 6378136.3 # meters

X0 = np.hstack([6778000.0, 0.0, 0.0, 10000.])  # x, y, vx, vy

time = np.arange(0, 300001, 100)

J2 = J2e  # correct J2
answerJ2, info = ODEint(deriv, X0, time, full_output=True)

J2 = 10*J2e # 10x larger J2
answer10xJ2, info = ODEint(deriv, X0, time, full_output=True)

if 1 == 1:
    plt.figure()
    x, y = answerJ2.T[:2]
    plt.plot(x, y, '-b')
    x, y = answer10xJ2.T[:2]
    plt.plot(x, y, '-r')
    plt.plot([0], [0], 'or')
    plt.show()

Саттон (примечание — 4-е издание!), стр. 156, говорит следующее:

[рисунок] показывает преувеличенное смещение линии апсид, при этом центр земли остается точкой фокусировки. Это возмущение можно представить себе как движение заданной эллиптической орбиты в фиксированной плоскости. Очевидно, что и точка апогея, и точка перигея меняют свое положение, причем скорость изменения зависит от высоты спутника и угла наклона плоскости. При наклонах 63,4° и 116,6° скорость смещения линии апсид, также называемая дрейфом апсид, равна нулю. При высоте апогея 1000 морских миль (нм) и перигее 100 морских миль на экваториальной орбите дрейф апсид составляет приблизительно 10°/день.

Скорее описательный, чем объяснительный, но, возможно, это представляет интерес.