2-мерное уравнение закона Кулона

С физической точки зрения, законы электродинамики трехмерны, поэтому вы должны взять их за отправную точку и посмотреть, что они означают для любой интересующей конфигурации заряда. Сила$F$формы$\propto\frac{1}{4\pi}\frac{1}{r^2}$падает быстрее, чем тот, который идет как$\propto\frac{1}{2\pi}\frac{1}{r}$и поэтому без дополнительной информации применимая физика - это известное поведение$\propto\frac{1}{4\pi}\frac{1}{r^2}$, который вы также можете записать как$\propto\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{4\pi}\frac{-1}{r}\right)$

Математически говоря, что вы делаете, так это вычисляете$F\propto\text{grad}(G)$, где сила$F$градиент потенциала$G$которое дается из уравнения Пуассона в$n$габариты, и где в центре системы координат находится только один заряд. Ваша двумерная сила$F\propto \frac{1}{2\pi}\frac{1}{r}= \frac{1}{2\pi}\frac{\partial }{\partial r}\mathrm{ln}(r)$, т.е.$G= \frac{1}{2\pi}\mathrm{ln}(r)$. Здесь приведен список подобных потенциалов, только пятый из которых соответствует электростатике в 3-х измерениях:

http://en.wikipedia.org/wiki/Green%27s_function#Table_of_Green.27s_functions

Ну, конечно, вы можете рассмотреть это для 2-мерных карт, но проверить это экспериментально просто невозможно. Поскольку ни один из известных нам зарядов не является двухмерным в своем существовании, и его электрическое влияние также распространяется в трех измерениях, о которых мы знаем, опыт и эксперименты с 2d на сегодняшний день невозможны, и, следовательно, ваша гипотеза не может быть проверена для подтверждения.

Глядя на аналогию, ваша экстраполяция кажется правильной, и я считаю, что аналогичным образом мы можем получить результаты даже для одномерного мира или даже для многомерных миров. Но опять же, все это нельзя ни доказать, ни опровергнуть.

Закон Гаусса является наиболее общей формой уравнения для описания электрического поля. Закон Колумба для произвольного электрического поля утверждает F=q*E. Закон Гаусса в его интегральной форме читается

D — плотность электрического потока, dS — элемент нормали к поверхности, rho — плотность заряда, dV — элемент объема. Это уравнение физически говорит о том, что заряд, заключенный в объеме, равен поверхностному интегралу потока, нормального к поверхности этого объема. Как вы видите, это 3D по определению, поскольку оно включает в себя объем и поверхность. Если вы проверили написанное вами уравнение 2 на соответствие закону Гаусса, вы увидите, что оно несовместимо. Вот почему уравнение 2 ни при каких обстоятельствах не описывает точечный заряд просто потому, что поток через «круг», как вы его описали, является частью общего потока через сферу.

Как правило, закон Гаусса применяется к 3D, когда вы хотите использовать 2D или 1D, вы должны начать с 3D и сделать необходимые упрощения. Для использования 2D подумайте об этом как о срезе для преобразования 3D в 2D. Закон останется прежним.

Для справки, уравнение 2 имеет зависимость от r, которая описывает бесконечно длинную заряженную линию. Это одно из распространенных упражнений, которые студенты делают на элементарном уроке электромагнетизма, — нахождение электрического поля бесконечно длинной заряженной линии с использованием закона Гаусса.

Посмотрите здесь для общего описания закона Гаусса. На странице 6 вы видите пример, о котором я говорю.

Хотя ответ положительный, вы можете получить тот же результат, если начнете с квантовой теории поля. Результат, полученный из квантовой теории поля, заключается в том, что сила обратно пропорциональна расстоянию минус одна степень. В двух измерениях 2-1=1, поэтому сила, обратная r. В измерении N сила обратна$r^{N-1}$.

Тонкий вопрос. Вот мое мнение.

Математически в 2D поток будет проходить через линию, ограничивающую заряд.$\lambda$(давайте предположим, что это заряд на данный момент). Используя аргументы симметрии, Гаусс говорит, что 2$\pi$$r$$E$"="$\lambda/c$, следовательно, мы получаем$E$=2$K\lambda$/ г, где$c$и$K$=1/(4$\pi c$) аналогичны постоянной диэля вакуума и постоянной Кулона. Это математически правильно, и вы можете подтвердить это напрямую, интегрируя уравнение Пуассона в 2D: вы получите логарифмический потенциал.

Теперь, конечно, есть проблема физических размеров. Для того чтобы$F$"="$qE$=2$qK\lambda$/r в Ньютонах (или чтобы потенциальная энергия была энергией), мы могли бы: а) постулировать, что постоянная$K$должно быть в Нм/Кл$^2$а не Нм$^2$/$C^2$или б) мы должны пересмотреть наше предположение о том, что$\lambda$является зарядом, и рассматривать его как линейную плотность заряда.

Действительно, в последнем случае поле сверху идентично полю заряженной проволоки линейной плотности$\lambda$проникая в ваше двумерное пространство. Это кажется более удовлетворительным, чем перетасовка констант (таких как$K$), которые задают масштаб электромагнитного взаимодействия.

Что такое 2D заряд? Это не очень хорошее определение, и вам следует быть более осторожным. Сила будет пропорциональна заряду или квадрату заряда? 2D-заряд в вихре — это топологический заряд? Вещь в 2D делает иначе.