Что физически делает дельта-функция Дирака при выводе закона Гаусса из закона Кулона?

Question

Что физически делает дельта-функция Дирака при выводе закона Гаусса из закона Кулона?

Физика
закон Гаусса
закон кулона
электростатика
Дирак-дельта-распределения

пользователь103515

При выполнении этого вывода исходные координаты упоминаются как « $s$ " и координата точки, в которой должно быть рассчитано поле, упоминается как " $r$ ". Пожалуйста, перейдите по этой ссылке в Википедии и нажмите "Схема доказательства" в разделе "Вывод закона Гаусса из закона Кулона".

Наконец выходит, что

\nabla \cdot Е (р) "=" \frac{р (р)}{ϵ_{0}} .

$\nabla\cdot E(r)= \frac{\rho(r)}{\epsilon_0}.$ Но

ρ

$\rho$ фактически определяется для "

s

$s$ "координаты и

ρ (r)

$\rho(r)$ , где

r

$r$ точка, в которой рассчитывается электрическое поле, равна 0. Здесь я не могу понять, как

\nabla \cdot E (r)

$\nabla\cdot E(r)$ равно

\frac{ρ (r)}{ϵ_{0}}

$\frac{\rho(r)}{\epsilon_0}$ .Информация о

ρ (s)

$\rho(s)$ полностью теряется в конечном уравнении. Что на самом деле делает дельта-функция Дирака?

Qмеханик

Этот вопрос (v3) по сути является дубликатом physics.stackexchange.com/q/38404/2451 .

Ответы (3)

Что физически делает дельта-функция Дирака при выводе закона Гаусса из закона Кулона?

Этот вопрос (v3) по сути является дубликатом physics.stackexchange.com/q/38404/2451 .

Орион · Answer 1

Дельта Дирака — это функция, описывающая распределение (в данном случае платное), сосредоточенное в одной точке: именно то, что вам нужно. Таким образом, уравнения в данном наброске доказательства читаются на простом английском языке следующим образом:

(1) Закон Кулона точечного заряда (2) Закон Кулона, проинтегрированный для плавно распределенного заряда с плотностью $\rho$ (положить $\rho=e_0 \delta$ возвращает вам (1)). Каждый балл вносит свой вклад $\rho$ . (3) Поле ${\bf r}/r^3$ описывает поле, которое возникает в точке начала координат без каких-либо других источников. Мы узнаем этот член под интегралом (2). (4) Источники E представляют собой интеграл по вкладам источников с величиной $\rho$ в каждой точке - что в основном просто говорит о том, что «гладкая капля заряда аналогична непрерывному распределению маленьких точечных зарядов». (5) Просто переформулировка (4) (математически, используя определение дельта-функции).

Так что на самом деле этот план практически ничего не делает. В нем говорится: «Мы обобщили закон Кулона для точечного заряда на непрерывное распределение заряда, сложив их вместе, и, что удивительно, источником результирующего электрического поля является распределение заряда, которое мы ввели в первую очередь». Если вы спросите меня, это «доказательство» похоже на циркуляр.

Проф Шонку · Answer 2

$\rho(\vec{s})$ является функцией $\vec{s}$ где $\vec{s}$ - вектор положения местоположения плотности заряда. Принимая во внимание, что $\vec{r}$ это позиция, в которой вы хотите вычислить $E(\vec{r})$ . Итак, что вы, по сути, делаете, это вычисляете электрическое поле из-за некоторого элементарного объема $d^3s$ находится на позиции $\vec{s}$ и, наконец, интегрирование по всему такому вкладу для всех таких $\vec{s}$ .

$\textbf{Important:}$ Закон в дифференциальной форме справедлив для всех r и $\rho{(r)}\neq 0$ для всех $r$ как $r$ может быть любой точкой пространства, что означает даже $r=s$ .Другими словами, вы должны написать, скажем, для точечного заряда (сферическая симметрия)

р (р) "=" \frac{Вопрос}{4 π р^{2}} дельта (р - с)

$\rho(r)=\frac{Q}{4\pi r^2}\delta(r-s)$ .Написав таким образом, вы не теряете информацию о том, что заряд только на

r = s

$r=s$ .

Спасибо профессору Шонку за объяснение. Я немного смущен из-за следующего.
Какая часть ответа вас смущает. $\rho(r)$ для любого $r$ в пространстве. Если вы положите $\rho(r)=0$ тогда это будет означать, что он равен нулю в $r=s$ тоже что не так. $r$ пишется в смысле переменной, она не обозначает конкретную позицию, например $r=r_0$ .
Спасибо профессору Шонку за объяснение. Я немного смущен из-за следующего. В приведенной задаче нас просят найти дивергенцию электрического поля $E(r)$ . $r$ вектор положения точки, в которой $E$ рассчитывается. Распределение заряда, создающего поле $E(r)$ находится на расстоянии $s$ от происхождения. Следовательно, распределение заряда записывается как $\rho(s)$ . (продолжение)
(продолжение) Теперь, когда мы, наконец, находим выражение $\nabla\cdot E(r)$ оказывается $\rho(r)/\epsilon_0$ , которая является функцией $r$ нет $s$ . это говорит о том, что $\nabla\cdot E(r)$ не зависит от исходных координат. Предполагать $\rho(s)$ является конечной величиной, но $\rho(r)=0$ . затем $\nabla\cdot E(r)$ будет 0. Нет эффекта от $\rho(s)$ на $\nabla.E(r)$ . Но $\rho(s)$ является причиной $E(r)$ . Как возможно, что причиной $E(r)$ не влияет на $\nabla\cdot E(r)$ ?
Предположим, что внутри протяженного источника имеется точка с плотностью заряда rho. Мы хотим вычислить div.E в этой точке. Будет ли она такой же, как и для точки вне протяженного источника?
Когда вы пишете $\rho(r)=0$ это не правильно. Должен быть $\rho(r=r_0)=0$ .Потому что, как я уже говорил $r$ является переменной в уравнении. И уравнение справедливо для любого $r$ и $\rho(r)$ должен быть написан так, чтобы он содержал всю информацию о распределении заряда для всех $r$ .

пользователь103515 · Answer 3

Думаю, я нашел ответ. Рассмотрим случай равномерно заряженного шара радиуса $R$ и плотность заряда $\rho$ . Поле внутри этой сферы равно $E_{in}=\frac{\rho\times r}{3\epsilon_0}$ . Здесь $r$ это расстояние от центра и $r < R$ . Если мы посчитаем дивергенцию $E_{in}$ затем

\nabla . Е (р) "=" \frac{р}{ϵ_{0}}

$\nabla.E(r)=\frac{\rho}{\epsilon_0}$ Пожалуйста, обратите внимание, что

ρ

$\rho$ на самом деле

ρ (r)

$\rho(r)$ которая постоянна при r < R.

Электрическое поле $E_{out}=\frac{\rho\times R^3}{3\times\epsilon_0\times r^2}$ для $r>R$ .

Вычисляя дивергенцию этого поля, получаем

$\nabla.E(r)=0$ , Пожалуйста, обратите внимание, что для этого пункта $(r > R)$ $\rho(r)=0$ .

Вот почему я не согласен с интерпретацией $\rho(r)$ профессор Шонку Это доказывает, что $\nabla.E(r)=\frac{\rho(r)}{\epsilon_0}$ где $\rho(r)$ - плотность заряда точно в точке, где поле $E(r)$ измеряется. Если $r$ такова, что точка находится внутри расширенного распределения заряда, то $\nabla.E(r)$ отличен от нуля. Если $r$ такова, что точка находится вне расширенного распределения заряда, то $\nabla.E(r)$ равен нулю. Спасибо

Если $E_{out}=\frac{\rho R^3}{3\epsilon_0 r^2}$ и $\rho=0$ затем $E_{out}=0$ но так ли это?
Если на сфере нет распределения заряда, то это нейтральная сфера. Таким образом, E(out) будет равно 0, а E(in) также будет равно 0. Но здесь дельта-функция Дирака играет роль, присваивая rho(r)=rho для r<R и rho(r)=0 для r>R . Я думаю, мы говорим об одном и том же, но на разных языках. Спасибо
Хорошо. В основном вы показали, что $\rho(r)\neq 0$ для $r<R$ и $\rho(r)=0$ для $r>R$ что эквивалентно высказыванию $\rho(r)=\frac{Q}{4\pi r^2}\delta(r-s)$ за один заряд, расположенный по адресу $r=s$ что я сказал ранее.
да. Это то, что я сказал. Это было моей точкой зрения, что информация не теряется, потому что явное выражение для $\rho(r)$ содержит информацию о том, где находится заряд.
Я до сих пор не понимаю, как простое обозначение «rho(r)» без интегрирования или суммирования без знака может передать плотность заряда для всего диапазона r. Но теперь я очень хорошо понимаю, что здесь дельта-функция Дирака играет роль, приписывая релевантность только плотности заряда в той конкретной точке, где мы вычисляем E(r).
Потому что $\delta(r-s)$ физически означает, что он равен нулю, если $r\neq s$ и не ноль, если только $r=s$ . Таким образом, вы объединяете эти две информации в одном выражении. В противном случае вам нужно написать два разных уравнения для двух разных диапазонов.
Я думаю, вы поощряете меня визуализировать график rho (r) против r, а затем умножать на него delta (rs). Таким образом, с одного взгляда видна только вся информация.
Да, для одноточечного заряда вы можете сделать это, но для другого типа распределения это может быть не дельта Дирака, это может быть использование какой-либо другой функции, вы сможете написать одно выражение для $\rho$ . Скажем, для случая, когда $\rho(r)=\text{const}$ для $r<R$ и $\rho(r)=0$ для $r>R$ затем $\rho$ можно записать как $\rho(r)=\text{Const}\times \theta(R-r)$ где $\theta(x)$ функция тяжелого бокового шага, определяемая как $\theta(x)=0$ для $x<0$ и $\theta(x)=1$ для $x>0$ . Дельта-функция Дирака подходит только для дискретного распределения.

Что физически делает дельта-функция Дирака при выводе закона Гаусса из закона Кулона?

пользователь103515

Qмеханик

Ответы (3)

Орион

Проф Шонку

пользователь103515

Проф Шонку

пользователь103515

пользователь103515

пользователь103515

Проф Шонку

пользователь103515

Проф Шонку

пользователь103515

Проф Шонку

Проф Шонку

пользователь103515

Проф Шонку

пользователь103515

Проф Шонку

Эквивалентно ли вывести закон Гаусса из дискретных и непрерывных исходных распределений?

Как из закона Кулона получается закон Гаусса (интегральная форма) и как из него получается дифференциальная форма?

Кулоновский потенциал

Дивергенция поля и ее интерпретация

Закон электрического поля Гаусса, как он на самом деле работает? & Как Гаусс получил это?

Можно ли вывести закон всемирного тяготения Ньютона из закона Кулона? [дубликат]

Заряд поверхностной плотности, расходимость электрического поля и закон Гаусса

Зависимость электрического поля от расстояния

Что произойдет, если заряженные пластины расположить горизонтально?

Объяснение тому, что E E E~ не падает при 1/r21/r21/r^2 для бесконечных линейных и листовых зарядов?