Подразумевают ли закон Кулона вместе с законом Гаусса существование только трех пространственных измерений?

Да, конечно. На самом деле закон Гаусса обычно считается основным законом, а закон Кулона — просто его следствием (и закона силы Лоренца).

На самом деле вы можете смоделировать 2D-мир, используя линейный заряд вместо точечного заряда и взяв поперечное сечение, перпендикулярное линии. В этом случае вы обнаружите, что сила (или электрическое поле) пропорциональна 1/r, а не 1/r ^ 2, поэтому закон Гаусса остается в силе.

Я полагаю, что такой же вывод можно сделать из экспериментов, проведенных с графеновыми листами и т.п., которые еще лучше моделируют настоящую двумерную вселенную, но я не знаю конкретной ссылки для этого.

Я бы сказал да!

На самом деле некоторые теории, объясняющие квантовую гравитацию, также используют это рассуждение: гравитация — это очень слабое взаимодействие на квантовом уровне, потому что оно «просачивается» в другие измерения, не наблюдаемые в нашем масштабе, но присутствующие в этом масштабе.

Математические инструменты разные, но если вы просто подумаете о законе Гаусса, то сможете представить себе одно объяснение, почему в этих теориях присутствуют дополнительные измерения.

Скорее наоборот, я бы сказал. Закон Гаусса вместе с тем фактом, что мы живем в мире с тремя пространственными измерениями, требует, чтобы сила между зарядами падала как 1/r^2. Но существуют совершенно непротиворечивые аналоги электростатики в мирах с двумя или более пространственными измерениями, каждое из которых имеет свой собственный «закон Кулона» — с различным спадом силы с расстоянием.

Более того, гораздо более очевидно, что мы живем в мире с тремя пространственными измерениями (оглянитесь вокруг!), чем то, что сила между зарядами имеет закон обратных квадратов. Таким образом, как эмпирически, так и теоретически число пространственных измерений является более фундаментальным, чем закон силы.

Грубо говоря, теория (супер)струн рассматривает дополнительные пространственные измерения, которые «свернуты» (я полагаю, имеют необычную топологию высокой кривизны). Теперь это, конечно, полная спекуляция, но если бы эти измерения действительно существовали, электромагнетизм не распространялся бы сильно на эти измерения, поэтому казалось бы, что есть только три измерения (в очень хорошем приближении).

Сказав это, ваш аргумент более или менее обоснован (хотя и далеко не пуленепробиваемый). Это, безусловно, предполагает, что мы не живем в двухмерном мире и что любые возможные дополнительные измерения сравнительно малы!

Да. На самом деле поток не будет равен плотности заряда в других размерностях без аналогичной модификации закона Кулона в зависимости от размерности.

В частности, в$d$размеры, у нас есть это

над границей некоторой пространственной области$R$только если поле точечного заряда (которое интегрируется, чтобы дать поле распределения заряда) имеет вид

куда$\rho$измеряется как плата за единицу$d$-объем.

Таким образом, закон Гаусса ограничивает, но технически не определяет закон Кулона. Чтобы определить его, вам нужны некоторые дополнительные предположения о симметрии и однородности пространства и/или электромагнитных законах в дополнение к закону Гаусса, или некоторые из оставшихся уравнений Максвелла (и это обобщение на более высокие размерности более сложно, потому что они включают завитки. В более высоких измерениях размерностей они становятся поливекторами, я полагаю, как и во внешней алгебре), в частности, по крайней мере$\nabla \times \mathbf{E} = \mathbf{0}$для электростатики (в 3D).

Также, что интересно, я считаю, что нет стабильных связанных атомов в измерениях$d > 3$с обычными электромагнитными законами. В частности,$r^{-3}$Закон Кулона для 4D и его высшие аналоги приводят к уравнению Шредингера, имеющему уровни энергии, неограниченные снизу, а это означает, что даже известная нам квантовая механика не спасет атом от коллапса. По сути, стенки потенциальной ямы слишком крутые. Вселенная в 4-м измерении должна будет действовать каким-то другим образом на основе совершенно иных физических законов, чтобы они могли принять стабильную материю, а тем более жизнь, даже если она обладает некоторыми силами, подобными нашему электромагнетизму.

Не обязательно , потому что теории дополнительных измерений могут быть снабжены процессом редукции измерений, оправдывающим исчезновение дополнительных измерений в нашем (фактическом) энергетическом масштабе. или «свернутый клубочком ». Закон Кулона будет частным случаем окончательной теории на классическом уровне, подобно ньютоновской гравитации в общей теории относительности.

Хотя другие уже ответили на него, я хотел бы добавить несколько мыслей по этому поводу.

Любая сила (например, «электростатическая сила Кулона», «сила гравитации Ньютона»), которая:

1. Возникает из точки.
2. Растекается равномерно во все стороны.
3. Снижение интенсивности с расстоянием.

Будет иметь поток = 0 (поверхностный интеграл поля) во всех точках пространства, кроме исходной точки.

Это означает, что дивергенция должна быть равна 0 во всех точках пространства.

Применяя формулу дивергенции к единичным векторам, получаем следующее:

1. Для 3D-пространства

$\nabla \frac{1}{r} \hat{r} = \frac{1}{r}$

$\nabla \frac{1}{r^2} \hat{r} = 0$

$\nabla \frac{1}{r^3} \hat{r} = -\frac{1}{r^3}$

$\nabla \frac{1}{r^4} \hat{r} = -\frac{2}{r^5}$

В трехмерном пространстве расхождение равно 0 только тогда, когда знаменатель равен квадрату r. Следовательно, силы обратно пропорциональны квадрату расстояния от источника.

2. Для 2D-пространства

$\nabla \frac{1}{r} \hat{r} = 0$

$\nabla \frac{1}{r^2} \hat{r} = -\frac{1}{r^3}$

В двумерном пространстве расхождение равно 0 только тогда, когда знаменатель равен просто r. Следовательно, силы обратно пропорциональны источнику.

3. Для 4D-пространства

$\nabla \frac{1}{r^3} \hat{r} = 0$

В четырехмерном пространстве дивергенция равна 0 только тогда, когда знаменатель равен кубу r. Следовательно, силы будут пропорциональны обратному кубу расстояния от источника.

Использованная литература:

https://math.stackexchange.com/questions/2136837/divergence-of-vecf-frac1r2-hatr/2136857#2136857

Я думаю, что ваша оценка верна, если закон Гаусса выполняется в двумерном мире, то электростатическая сила должна быть обратно пропорциональна расстоянию между зарядами. Однако я вовсе не уверен, что закон Гаусса может быть верен в двумерном мире, потому что$F_{q}=k \displaystyle \frac{qq'(r-r')}{|r-r'|^{3}}$является следствием трехмерного пространства, и поскольку мы выводим закон Гаусса из такого закона силы (точнее, из ее электрического поля), мы не можем предполагать справедливость закона Гаусса независимо от трехмерного пространства.