Адиабатический поршень: почему аргумент Каллена ошибочен?

Этот вопрос связан с этим . Я бы попросил вас прочитать этот вопрос и мой ответ на сам вопрос, прежде чем отвечать на этот.

Проблема в следующем. В своей книге « Термодинамика », приложение С, Каллен вводит задачу об адиабатическом поршне : найти состояние равновесия изолированной системы с внутренней подвижной адиабатической стенкой.

Аргумент Каллена следующий:

Общий объем фиксирован:

В знак равно В 1 + В 2

Чтобы

г В 1 знак равно − г В 2
А поршень адиабатический, т.е. не допускает теплообмена, так что:

г U 1 , 2 знак равно − п 1 , 2 г В 1 , 2

Полная энтропия системы равна

С ( U , В ) знак равно С 1 ( U 1 , В 1 ) + С 2 ( U 2 , В 2 )

следовательно

г С знак равно г С 1 + г С 2 знак равно г U 1 Т 1 + п 1 Т 1 г В 1 + г U 2 Т 2 + п 2 Т 2 г В 2

С г U 1 , 2 знак равно − п 1 , 2 г В 1 , 2 , Мы видим, что г С тождественно обращается в нуль, так что мы ничего не можем сказать о п 1 , 2 а также Т 1 , 2 : таким образом, принцип максимума энтропии неубедителен.

С другой стороны, есть закон сохранения энергии. Мы требуем, чтобы г U знак равно 0 так как наша система изолирована от окружающей среды, следовательно

г U 1 + г U 2 знак равно 0 → п 1 г В 1 + п 2 г В 2 знак равно 0

Но В знак равно В 1 + В 2 а также В фиксируется, так что г В 1 знак равно − г В 2 и мы получаем

п 1 знак равно п 2

Я знаю, что этот вывод правильный , т. е. является необходимым условием термодинамического равновесия. С другой стороны, в статье К. Грубера « Термодинамика систем с внутренними адиабатическими связями: временная эволюция адиабатического поршня » (1998) автор говорит:

Затем было отмечено, что аргумент Каллена, повторенный Леффом, не может быть правильным, поскольку условие равновесия выводится из первого закона, а не из второго закона.

У меня вопрос: что имеет в виду автор этой статьи? Почему аргумент Каллена ошибочен?

Я подчеркиваю, что мне не нужно альтернативное доказательство, а просто объяснение того, что неверно в аргументе Каллена, возможно, с использованием только термодинамики, а не кинетической теории или гидродинамики.

Обновлять

«Ответ» на этот вопрос фактически содержится в статье А. Э. Керзона «Термодинамическое рассмотрение механического равновесия при наличии теплоизолирующих барьеров » (1968), которая прямо упоминается в статье, которую я цитирую в своем вопросе. Проблема в том, что мне непонятно, почему аргумент Керзона должен быть "правильным", а аргумент Каллена - "неправильным"...

Это аргумент Керзона:

Система изолирована, а ее объем фиксирован, так что

(1) г U 1 + г U 2 знак равно 0
(2) г В 1 + г В 2 знак равно 0
Если мы предположим, что стена, разделяющая две системы, не допускает обмена веществом, мы имеем
(3) Т 1 г С 1 знак равно г U 1 + п 1 г В 1
(4) Т 2 г С 2 знак равно г U 2 + п 2 г В 2
Энтропия изолированной системы с фиксированным объемом в состоянии равновесия максимальна:
(5) г С знак равно г С 1 + г С 2 знак равно 0
Из 1 , 2 а также 4 мы получаем
(6) Т 2 г С 2 знак равно − г U 1 − п 2 г В 1
Замена 6 а также 3 в 5 , мы получаем
(7) г С знак равно ( 1 Т 1 − 1 Т 2 ) г U 1 + ( п 1 Т 1 − п 2 Т 2 ) г В 1 знак равно 0
Теперь, поскольку поршень адиабатичен, мы имеем для двух подсистем
(8) г С 1 , 2 ≥ 0
(это следствие неравенства Клаузиуса). Уравнения 5 а также 8 может быть последовательным только в том случае, если
(9) г С 1 знак равно г С 2 знак равно 0
Из 3 а также 9 мы получаем
(10) г U 1 знак равно − п 1 г В 1
Замена 10 в 7 мы наконец получаем
(11) ( п 1 − п 2 ) г В 1 Т 2 знак равно 0
Существование г В 1 произвольно, заключаем, что
п 1 знак равно п 2

Я не совсем убежден, что это можно считать "правильным" доказательством того, что п 1 знак равно п 2 является необходимым условием равновесия, в то время как Каллен ошибочен. Керзон фактически обращается к проблеме аналогичных выводов многих авторов (например, Кубо), т. е. того факта, что они утверждают, что условие п 1 знак равно п 2 можно вывести, только если предположить Т 1 знак равно Т 2 . Но Каллен не делает такого предположения! На самом деле его аргумент очень похож на аргумент Керзона, и мне кажется, что аргумент Керзона представляет собой довольно математический трюк.

Действительно, из 4 а также 9 мы бы получили г U 2 знак равно − п 2 г В 2 (аналоги к 1 ): это вместе с 1 , 2 а также 10 , снова даст нам аргумент Каллена!

Итак, в заключение, мне кажется, что аргумент Керзона совершенно такой же, как аргумент Каллена: поэтому неясно, что имел в виду Грубер, когда писал это предложение, и я считаю, что вопрос все еще остается открытым.

Слово «неправильно» кажется здесь очень странным.
@dmckee «Неправильно» или «ошибочно», если хотите. В более чем одной статье указывалось, что, хотя вывод правильный, аргумент — нет. Но никто толком не объясняет почему.

Ответы (5)

Я цитирую реферат одной из статей , на которую ОП ссылается в вопросе, предшествующем этому .

Принцип возрастания энтропии используется для получения условия механического равновесия в изолированной системе, разделенной на две части не имеющим трения невесомым поршнем, изготовленным из идеально теплоизолирующего материала. В результате подчеркивается, что этот принцип можно использовать для получения условия механического равновесия без предположения , часто используемого в учебниках, что механическое равновесие сопровождается тепловым равновесием .

Кажется, здесь прямо указано, что «недостаток» Каллена заключается в этом предположении. См. также этот вопрос Physics.SE для объяснения разницы между механическим и тепловым равновесием в одном из ответов.

Подытожу своими словами: п 1 знак равно п 2 только гарантирует, что вы находитесь в состоянии, когда ничто не движется/не ускоряется (т. е. что вы находитесь в механическом равновесии), что, очевидно, имело бы место, если бы п 1 ≠ п 2 (таким образом, это необходимое условие, как утверждает ОП). Однако этого недостаточно, чтобы заключить, что вы находитесь в термодинамическом равновесии, потому что из-за тепловых флуктуаций вы всегда получаете п 1 ≠ п 2 некоторое время . Теперь может случиться так, что ( п 1 знак равно п 2 ) -состояние было метастабильным и отклонялось от механического равновесия, вызванного небольшими флуктуациями. Насколько я могу судить из статей, связанных с другим вопросом, это не так, поэтому п 1 знак равно п 2 действительно оказывается правильным условием, но Каллен не показал строго, что «возвращающая сила», сопровождающая флуктуации, возвращает к механическому равновесию.

Я не уверен на 100%, отвечает ли это на вопрос и правильно ли это. В частности, я лично думаю, что аргумент Каллена можно легко дополнить, заметив, что механическое равновесие п 1 знак равно п 2 уникален . _ Я имею в виду, что если ваша система выходит из механического равновесия из-за колебаний, она должна куда-то двигаться. И нет второго механического равновесия, к которому оно могло бы перейти. т.е. необходимо ⇔ достаточна, так как она также уникальна.

Обновлять

Это относится к обновлению вопроса (v6).

В дополнение к исходному вопросу обновление содержит схему аргумента, который должен быть правильным, что дает тот же результат, что и аргумент Каллена. Затем ОП указывает, что аргументы кажутся одинаковыми.

Я не думаю, что это так. Как указывалось ранее в OP, Каллен использует только первый закон, в то время как для правильного доказательства равновесия следует использовать второй закон. Причина этого в том, что я пытался указать выше в своем первоначальном ответе. Первый закон — это просто утверждение сохранения энергии. Вы не можете извлечь информацию о термодинамическом равновесии, просто наложив ограничения вашей системы. Это только показывает, что механическое равновесие реализуется, что является необходимым, но недостаточным условием термодинамического равновесия (как уже неоднократно заявлял ОП).

Второй закон обеспечивает достаточность. Почему? Потому что это утверждение о природе самого термодинамического равновесия, в частности, оно говорит вам, как флуктуации ведут себя вокруг точки равновесия и что вы вернетесь в исходное состояние под действием флуктуационных возмущений, если говорить с точки зрения статистической механики.

Одно из сомнений ОП -

Действительно, из (4) и (9) мы получили бы г U 2 знак равно − п 2 г В 2 (аналог (1)): это вместе с (1), (2) и (10) снова даст нам аргумент Каллена!

Конечно, вы получите те же отношения, что и из первого закона, если вы подставите отношения, полученные из аргумента второго закона, друг к другу, потому что механическое равновесие оказывается тепловым равновесием в рассматриваемой ситуации. Однако я не понимаю, как это совпадение означает, что это один и тот же аргумент, поскольку они исходят из совершенно разных точек.

Вы правы, говоря, что в этой статье есть ответ на этот вопрос, но я думаю, что мотивация скорее формальная, чем физическая. На самом деле статья, которую я цитировал, содержит ссылку на эту статью, поэтому этот вопрос возник по недосмотру. Я думаю, что вскоре опубликую ответ, объясняющий все (также мой недосмотр).
@ valerio92 да, было бы здорово увидеть полное решение проблемы, которая на удивление сложна и интересна. Спасибо, что подняли его на SE! Как вы думаете, правильно ли я указал на недостаток аргументации Каллена? Я считаю, что причина, по которой это неправильно, теперь совершенно очевидна, хотя я бы не стал утверждать, что понимаю весь объем документов, на которые вы ссылаетесь, и как решить проблему, но я думал, что это был не тот вопрос, который вы задали здесь, не так ли?
Я думаю, что то, что вы говорите, правильно, но это не то, на что ссылался автор цитируемой статьи, когда писал, что «аргумент Каллена [...] не может быть правильным, поскольку условие равновесия было выведено из первого закона, а не второй закон». И да, здесь я хочу обсудить только аргумент Каллена, я не берусь решать задачу об адиабатическом поршне :-)
(Я написал, что то, что вы сказали, верно, но я должен указать, что Каллен не предполагает, что T1=T2T1=T2, так что это не может быть недостатком его аргумента. Но остальная часть вашего поста верна, хотя на самом деле это не так. ответить на вопрос. )
После более глубокого прочтения статьи Керзона я убежден, что в ней нет ответа на мой вопрос, и что его аргументация такая же, как у Каллена. Вы можете найти каждую деталь в разделе «обновление» моего вопроса. Извините за много комментариев, я обещаю, что это последний!
@valerio92 valerio92 Я обновил свой ответ. Основная цель ответа не изменилась, однако я надеюсь, что это поможет ответить на ваш вопрос.

Что означает

Затем было отмечено, что аргумент Каллена, повторенный Леффом, не может быть правильным, поскольку условие равновесия выводится из первого закона, а не из второго закона.

это. Первый закон является утверждением сохранения энергии. Это справедливо даже в том случае, если система не находится в термодинамическом равновесии. Если бы аргумент был верным, это означало бы, что мы никогда не наблюдаем дисбаланса давления в природе, что неверно.

В чем тогда ошибка в рассуждениях? Это это. Движение поршня в положение равновесия необратимо, поэтому уравнение г U я знак равно г Вт я знак равно − п я г В я неверно ( г Вт я работа над системой). Вместо этого имеем неравенство г U я знак равно г Вт я ≥ − п я г В я с равенством только для обратимых процессов. Если бы процесс уравновешивания был обратимым, то, как вы говорите, «принцип максимума энтропии, таким образом, неубедителен», потому что любое движение поршня оставляет общую энтропию неизменной.

Аргумент Керзона показывает, что по мере того, как поршень движется в положение равновесия, его последнее приращение объема изменяется обратимо. Это видно, потому что он выводит г U я знак равно − п я г В я из равенства г С знак равно 0 (иначе было бы ложно). Это равенство дифференциалов имеет место только тогда, когда поршень находится в положении равновесия, и поэтому второй закон был существенно использован.

Это неправильно, когда закон сохранения энергии применяется к полной внутренней энергии. Сюда нужно добавить кинетическую энергию поршня. Это позволяет двум давлениям быть разными, тогда поршень будет колебаться вокруг своего положения равновесия. Рассеивание этой энергии приведет к увеличению энтропии; при максимальной энтропии поршень остановится в положении равновесия, и давления выровняются.

Я не уверен, что это действительно недостаток. Я имею в виду, это аргумент в равновесной термодинамике. Здесь вы утверждаете, что это неверно для неравновесной системы (правда) и что оно снова будет правильным, когда система достигнет равновесия. Другими словами, что это справедливо для равновесной термодинамики, не так ли?
@dmckee Если мы сравним это, например, с изолированной системой, состоящей из двух подсистем, которые представляют собой внутреннее тепловое равновесие при разных температурах. Тогда мы можем видеть, что максимальная полная энтропия означает, что две температуры должны быть равны. Если они не равны, то у вас нет теплового равновесия. Но этот случай можно рассматривать с помощью равновесных термодинамических методов, поскольку две подсистемы находятся во внутреннем тепловом равновесии. Случай двух различных давлений должен быть рассмотрен аналогично.
Сложность только в том, что неравное давление оставляет нам две подсистемы с колеблющимися давлениями, но вы все еще можете рассматривать это примерно в рамках равновесной термодинамики. Не принимая во внимание физическую ситуацию, когда давления не равны, налагаются условия, действительные в конечном состоянии, и это затемняет роль второго закона в достижении равновесия между давлениями.
Вы также можете сказать, что весь смысл второго закона заключается в рассмотрении того, как достигается равновесие, поэтому вы должны рассматривать неравновесную ситуацию. То, что у нас есть приемы для этого в рамках равновесной термодинамики (деление неравновесной системы на части таким образом, чтобы каждая из них находилась во внутреннем равновесии и изменения происходили квазистатическим образом) — это хорошо, но мы должны не слишком увлекайтесь деталями использования этих трюков. Важно то, что существует четко определенное начальное состояние и четко определенное конечное состояние.
Я не думаю, что что-то из того, что вы здесь сказали, неверно (и это не мой отрицательный голос), но я действительно думаю, что они представляют собой философские причины для предпочтения другого аргумента, а не своего рода опровержение подхода Каллена. Конечно, это не очень хорошо обобщается. Конечно, он не использует педагогическую возможность продемонстрировать второй закон. Но что с того? Анализ особых случаев часто приносит большую пользу в одних случаях и бесполезен в других.
Я думаю, что это замечание действительно интересно, но, к сожалению, это явно не то, что имеет в виду автор статьи, когда говорит, что рассуждение «не может быть правильным, так как условие равновесия выведено из первого закона, а не из второго». Я также думаю, что эту проблему можно было бы обойти, сказав, что масса поршня такова, что его энергия незначительна. Я знаю, что это нереально, но в термодинамике такие предположения делаются постоянно.
@ valerio92 Проблема в том, что обычные скрытые предположения не применяются, и когда эти предположения делаются, например, dU = 0, вы неявно предполагаете, что система уже имеет максимальную энтропию, что дает равенство давлений. Тогда похоже, что равное давление не следует из второго закона, потому что когда второй закон был явно задействован, он не дал ничего полезного, а первый закон дал результат. Однако причина, по которой обращение ко второму закону не дало ничего полезного, заключалась в том, что он применяется избыточным образом.

Аргумент Каллена кажется аргументом виртуальной работы. Если система находится в равновесии, то небольшое перемещение, согласующееся с ограничениями, существующими в системе, не должно в конечном итоге выполнять никакой работы. Насколько я могу судить, это правильный аргумент. Однако, возможно, возражение состоит в том, что это не считается термодинамическим аргументом, который должен явно использовать максимизацию энтропии.

Начнем с дифференциальной формы полной энтропии S изолированной сложной системы 1 & 2 .

г С т о т а л знак равно г С 1 + г С 2 знак равно ( 1 / Т 1 ) г U 1 + ( п 1 / Т 1 ) г В 1 + ( 1 / Т 2 ) г U 2 + ( п 2 / Т 2 ) г В 2

Затем мы применяем, что, поскольку составная система изолирована, г U т о т а л знак равно г В т о т а л знак равно 0 , так г U 2 знак равно − г U 1 а также г В 2 знак равно − г В 1

г С т о т а л знак равно ( 1 / Т 1 − 1 / Т 2 ) г U 1 + ( п 1 / Т 1 − п 2 / Т 2 ) г В 1

Условие равновесия состоит в том, что г С т о т а л знак равно 0 , поэтому каждое слагаемое должно быть 0 .

( 1 / Т 1 − 1 / Т 2 ) г U 1 знак равно 0

( п 1 / Т 1 − п 2 / Т 2 ) г В 1 знак равно 0

Поскольку внутренний объем не фиксирован, г В 1 не является 0 , и поэтому ( п 1 / Т 1 − п 2 / Т 2 ) должно быть 0 . Поскольку громкость не фиксирована, можно U 1 изменяться (благодаря объемной работе) и, таким образом, г U 1 не является 0 либо. Следовательно ( 1 / Т 1 − 1 / Т 2 ) также должно быть 0 .

Объединяя оба уравнения (и не допуская ни одного Т равна нулю) получаем два условия равновесия:

Т 1 знак равно Т 2 а также п 1 знак равно п 2

Заметим, что адиабатичности стенки не требовалось для вывода. На самом деле это не имеет значения. Если стена подвижна, температуры в равновесии уравняются, поэтому мы можем сказать, что доказали, что ни одна стена не является адиабатической, если она не является полностью изолирующей.

г С т о т а л знак равно 0 является условием равновесия, и его формула не включает ни «тепло Вопрос ' ни 'работа Вт ', Только г U 1 а также г В 1 . Любое доказательство, связанное с Вопрос или же Вт будет менее фундаментальным, чем этот, поскольку он требует добавления дополнительных постулатов об отношении между Вопрос а также Вт а также U .

Кроме того, насколько я понимаю ( как сказано в ответе UtilityMaximiser) , формула г Вт 1 , 2 знак равно − п 2 , 1 г В 1 , 2 не всегда действителен. Это действительно только в том случае, если п 1 , 2 хорошо определен. И единственная ситуация, в которой оба п 1 а также п 2 хорошо определены одновременно , если система находится в равновесии.

Поэтому, предлагая г U 1 , 2 знак равно − п 2 , 1 г В 1 , 2 уже требуется, чтобы система находилась в равновесии, поэтому любое другое условие равновесия становится невозможным.

Адиабатический поршень: почему аргумент Каллена ошибочен?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v