Альтернативная интерпретация формулы числа вырожденных фермионов в фазовом пространстве

Я пишу личные заметки по статистической механике, и у меня возникает соблазн написать что-нибудь, что может оказаться ложным. Поэтому мне нужно подтверждение/подтверждение и мнения по следующему (подозреваю, что это ложь, но...).

Количество вырожденных фермионов внутри объема$V$, при температуре$T = 0$, находится интегрированием по их фазовому пространству из-за принципа запрета Паули (только один фермион на состояние):

$$\begin{equation}\tag{1} N = \int_0^{p_F} \frac{2 \cdot 4 \pi p^2 \, dp}{(2 \pi \hbar)^3} \, V = \frac{p_F^3 \, V}{3 \pi^2 \, \hbar^3}. \end{equation}$$ Это позволяет найти импульс Ферми $p_F$как функция плотности частиц $N/V$. В принципе такое интегрирование имеет смысл только для большого числа частиц: $N \gg 1$.

Теперь я заманчиво интерпретировать (1) как все еще действительный даже для$N = 1$(только один фермион в коробке), поскольку квантовая механика допускает суперпозицию состояний для одной частицы. Выполнять интеграл по фазовому пространству, чтобы найти только одну частицу в ящике, странно и не должно быть верным (согласно принципу Паули, это суммирование имеет смысл, только если$N \gg 1)$. Но в КМ отдельная частица может находиться в суперпозиции состояний с разным импульсом, вплоть до максимально допустимого значения (т.е. импульса Ферми).

Жизнеспособна ли эта интерпретация? Или это совершенно неразумно?

Как бы то ни было, моя интуиция подсказывает мне, что эта нетрадиционная интерпретация все-таки может быть верной, поскольку существуют «альтернативные» интерпретации некоторых расчетов в статистической механике. Но что меня беспокоит, так это явное отсутствие принципа исключения Паули в этой интерпретации.

Применяя принцип запрета Паули, мы говорим «только одна частица на данное состояние», но в КМ мы можем сказать «несколько состояний на частицу»! Таким образом, это, по-видимому, предполагает, что (1) все еще может быть в некотором роде действительным, даже для$N = 1$.

---

РЕДАКТИРОВАТЬ: Вот предварительное обоснование того, что интерпретация может быть в некотором роде верной .

У вас есть одна частица в прямоугольной коробке размеров$\ell$, при температуре$T = 0$. Согласно классической механике его средний импульс должен быть равен 0. Но из-за принципа неопределенности Гейзенберга импульс в$x$направление имеет минимальную неопределенность, определяемую выражением

$$\begin{equation}\tag{2} \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2 \Delta x} \approx \frac{\hbar}{\ell}, \end{equation}$$ с $\Delta x \approx \frac{\ell}{2}$(в среднем). Таким образом, импульс может быть любым в этом диапазоне: $$\begin{equation}\tag{3} -\, \Delta p_{x \, \text{max}} \le p_x \le \Delta p_{x \, \text{max}}. \end{equation}$$ Таким образом, классически частица занимает небольшую нечеткую область в своем фазовом пространстве. Объем этой области определяется выражением (1), где $p_F$заменен на $\sim \Delta p_x$. Принцип Паули может быть соблюден, если все остальные частицы будут помещены поодиночке в соседние ящики, так что на каждое квантовое состояние (т. е. нечеткую область в фазовом пространстве) приходится только одна частица .

Предыдущее рассуждение можно обобщить для любого числа частиц в одном и том же ящике объема.$V$:$N > 1$, разбивая интеграл (1) на столько частей, сколько фермионов. Для$N = 3$например (или любое другое целое число):

$$\begin{equation}\tag{4} N = \int_0^{p_1} \dots dp + \int_{p_1}^{p_2} \dots dp + \int_{p_2}^{p_{\text{max}}} \dots dp, \end{equation}$$ где $0 < p_1 < p_2$совершенно произвольны и $p_{\text{max}}$- максимально допустимое значение (импульс Ферми). Это интегральное расщепление согласуется с принципом запрета Паули. Каждая частица рисует нечеткую область в своем фазовом пространстве (их нельзя представить точкой, как в классической механике). Так что теперь я твердо верю, что (1) по-прежнему справедливо для любого целого числа. $N$, а не только большие числа $N \gg 1$.

Мне нужны мнения по этому поводу.