Принцип Паули для "Фононов"

Я читаю главу Фейнмана "Статистическая механика". 6.4 о системе М взаимодействующие частицы, они могут быть бозонами или фермионами. Пусть гамильтониан будет

(1) ЧАС "=" ∑ я 3 М п я 2 + ∑ я Дж 3 М U я Дж д я д Дж ,

с симметричной матрицей U и соответствующее определение p и q, чтобы избавиться от констант. Путем диагонализации гамильтониан можно привести к виду

(2) ЧАС "=" 1 2 ∑ я 3 М ( п я 2 + ю я 2 Вопрос я 2 ) ,
с обобщенными координатами п я и Вопрос я . Определить операторы создания и уничтожения а к "=" 1 2 ℏ ( ю к Вопрос к + я ю к п к ) и а к † .

Таким образом, гамильтониан принимает вид

(3) ЧАС "=" ∑ я 3 М ℏ ю я ( а я † а я + 1 2 ) "=" ∑ я 3 М ℏ ю я ( Н я + 1 2 ) .

Собственные состояния

(4) | н 1 н 2 . . . н 3 М ⟩ "=" ∏ я 3 М ( а я † ) н я н я ! | в а с ⟩
(5) ЧАС | н 1 н 2 . . . н 3 М ⟩ "=" ∑ я 3 М ℏ ю ( н я + 1 2 ) | н 1 н 2 . . . н 3 М ⟩ ,

и интерпретируются как н 1 "фононы" в первой моде, н 2 во втором и так далее.

Теперь к вопросам:

  1. Как здесь применить принцип Паули? Я предполагаю, что состояния являются тензорными произведениями состояний «одной частицы». | н 1 н 2 . . . н 3 М ⟩ "=" | н 1 ⟩ | н 2 ⟩ . . . | н 3 М ⟩ , но в этом случае они не будут должным образом симметричны, так как, например, а 1 † ( а 2 † ) 3 | в а с ⟩ "=" | 1 ⟩ | 3 ⟩ не является ни симметричным, ни антисимметричным состоянием.

  2. Откуда мы вообще знаем, каким должно быть правильное условие симметрии? Должна ли волновая функция быть симметричной при обмене фононной модой?

  3. Зависит ли (2.) от того, являются ли взаимодействующие частицы с самого начала бозонами или фермионами, или, скорее, от типа моды? Что, если это смесь разных видов или частиц?

Привет, Курио, на самом деле мне просто интересно, ты когда-нибудь понял это? Как и вы, я пытаюсь понять это и также не нашел ответа ниже вполне удовлетворительным. Моя интуиция говорит, что это в основном приближение, которое выполняется в пределе, когда все частицы в решетке каким-то образом различимы.
Спасибо за ваш комментарий, потому что я все еще не совсем доволен им. Я думаю, что мы предполагаем различимые частицы с самого начала, как вы сказали. Это оправдано при описании решетки, поскольку частицы эффективно различимы из-за локализации разных атомов. Тогда также не имеет значения, являются ли атомы бозонными или фермионными, что имеет смысл. Тем не менее, из этого «микроскопического» описания мы получаем квазичастицы с бозонным характером (из-за коммутационных соотношений операторов рождения фононных мод).

Ответы (1)

Принцип Паули уже действует в полной мере - он применяется в то время, когда вы устанавливаете свои операторы создания и уничтожения так, чтобы они подчинялись каноническим коммутационным соотношениям вида

[ а я † , а Дж † ] "=" дельта я Дж ,
в отличие от антикоммутационных соотношений вида { а я † , а Дж † } "=" дельта я Дж . Для фононного случая, с которым вы имеете дело, канонические коммутационные соотношения являются следствием лежащей в основе структуры, а не навязанной извне аксиомой, но результат тот же, поскольку это (анти)коммутационные соотношения, которые отмечают различие между фермионами. и бозоны на любом вторично-квантованном формализме, таком как тот, который вы используете.

Среди прочего, это означает, что ваше утверждение о том, что

например а 1 † ( а 2 † ) 3 | в а с ⟩ "=" | 1 ⟩ | 3 ⟩ не является ни симметричным, ни антисимметричным состоянием

неправильно - состояние | 1 ⟩ | 3 ⟩ уже полностью симметричен. Важна не симметрия волновой функции относительно, по вашим словам,

обмен фононной модой,

что не имеет смысла — вам нужен обмен фононами внутри каждой моды или между разными модами: то есть операция симметрии, которая берет один из этих трех фотонов внутри этого | 3 ⟩ и обменивает его на второй из них. Или операция симметрии, которая переводит фотон в | 1 ⟩ , помещает его в | 3 ⟩ , а затем берет один из исходных | 3 ⟩ и помещает это в тот же режим, который начался в | 1 ⟩ .

Конечно, в такой формулировке эти операции симметрии вообще не имеют никакого смысла, и это потому, что вы уже оперируете автоматическим формализмом вторичного квантования, который, независимо от того, откуда он взялся, полностью решает такие вопросы. спорный Обменная симметрия закодирована в (анти)коммутационных соотношениях и все.

Я думаю, что понял, но что меня все еще смущает, так это то, что я могу спросить вероятность того, что первая обобщенная координата принимает значение Вопрос 1 а второе значение Вопрос 2 , скажем, для состояния, которое я написал в вопросе: п ( Вопрос 1 , Вопрос 2 ) "=" | ⟨ Вопрос 1 | ⟨ Вопрос 2 | ) ( | 1 ⟩ | 3 ⟩ | 2 "=" | ψ 1 ( Вопрос 1 ) ψ 3 ( Вопрос 2 ) | 2 . Где ψ я ( Вопрос ) волновая функция положения одиночного гармонического осциллятора с числом заполнения i. Но я ожидаю, что ответ будет | ψ 1 ( Вопрос 1 ) ψ 3 ( Вопрос 2 ) + ψ 3 ( Вопрос 1 ) ψ 1 ( Вопрос 2 ) | 2 из-за обменной симметрии. В чем здесь моя неправота?
Я не понимаю, почему нас особенно заботит обмен двумя фононами между разными модами, поскольку априори фонон — это просто концепция, которую мы «выдумали», чтобы придать смысл форме гамильтониана, не так ли? До того, как мы перешли к гамильтониану, состояние системы описывалось суммой тензорных произведений состояний одной частицы, которая должна подчиняться обменной симметрии в зависимости от того, являются ли рассматриваемые частицы бозонами или фермионами. Почему нам больше не нужно об этом заботиться?
Принцип Паули для "Фононов"
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v